26. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.

27. Плоскость в пространстве. Различные виды уравнений плоскости в пространстве.

Уравнение плоскости в пространстве Ax + By + Cz + D=0; D=0=> Ax+By+Cz=0 – уравнение плоскости, проходящей через начало координат; C=0=> Ax+By+D=0 – уравнение плоскости, параллельной оси Oz; B=0=> Ax+Cz+D=0 – уравнение плоскости, параллельной оси Oy; A=0=> By+Cz+D=0 - уравнение плоскости, параллельной оси Ox; A=B=0=> Cz+D=0 - уравнение плоскости, параллельной координатной плоскости Oxy; A=C=0=> By+D=0 - уравнение плоскости, параллельной координатной плоскости Oxz; B=C=0=> Ax+D=0 - уравнение плоскости, параллельной координатной плоскости Oyz. A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0 – уравнение плоскости проходящей через точку. d= .

28. Классификация поверхностей второго порядка.

Общее уравнение поверхностей 2го порядка - . – уравнение эллипсоида. – однополосный гиперболоид. – мнимый эллипсоид. – уравнение конуса. – вырожденный эллипсоид(точка). – уравнение эллиптического цилиндра. – пустое множество(мнимый цилиндр). – пара пересекающихся плоскостей. – прямая(вырожденный эллиптический цилиндр). – эллиптический параболоид. – гиперболический параболоид.

29. Эллипсоиды, гиперболоиды, парабалоиды, их свойства и канонические уравнения.

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением   a > 0, b > 0, c > 0, называется эллипсоидом. Свойства: Эллипсоид – ограниченная поверхность; Эллипсоид обладает: центральной симметрией относительно начала координат, осевой симметрией относительно координатных осей, плоскостной симметрией относительно начала координат; В сечении эллипсоида плоскостью, перпендикулярной любой из координатных осей, получается эллипс.  Однополостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид   . Свойства однополостного гиперболоида.

Однополостной гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z – любое число. Однополостной гиперболоид обладает центральной симметрией относительно начала координат, осевой симметрией относительно всех координатных осей, плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей. В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy – гипербола. Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением    a > 0, b > 0, c > 0 называется двуполостным гиперболоидом. Свойства двуполостного гиперболоида. Двуполостный гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что  и неограничен сверху. Двуполостный гиперболоид обладает центральной симметрией относительно начала координат, осевой симметрией относительно всех координатных осей, плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.

В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, при|z|>c получается эллипс, при |z|=c – точка, а в сечении плоскостями, перпендикулярными осям Ox и Oy, – гипербола.

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением  , a > 0, b > 0, называется эллиптическим параболоидом. Свойства эллиптического параболоида. Эллиптический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z ≥ 0 и принимает сколь угодно большие значения. Эллиптический параболоид обладает осевой симметрией относительно оси Oz, плоскостной симметрией относительно координатных осей Oxz и Oyz.

В сечении эллиптического параболоида плоскостью, ортогональной оси Oz, получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy – парабола. Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением , a > 0, b > 0, называется гиперболическим параболоидом. Свойства гиперболического параболоида. Гиперболический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z – любое число. Гиперболический параболоид обладает осевой симметрией относительно оси Oz, плоскостной симметрией относительно координатных плоскостей Oxz и Oyz. В сечении гиперболического параболоида плоскостью, ортогональной оси координат Oz, получается гипербола, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy, – парабола. Гиперболический параболоид может быть получен поступательным перемещением в пространстве параболы так, что ее вершина перемещается вдоль другой параболы, ось которой параллельна оси первой параболы, а ветви направлены противоположно, причем их плоскости взаимно перпендикулярны.