3.1.1.4. Фильтровой приемник

Если в приемнике отсутствует возможность создания вспомогательного сигнала, в точности совпадающего с полезным сигналом, оптимальная обработка принятой реализации y(t) может быть осущест­влена с помощью оптимального, согласо­ванного фильтра.

Пусть на оптимальный линейный фильтр, имеющий импульсную характеристику h(t), воздействует принятая реализация y(t). Отклик фильтра на указанное воздействие представляется в следующем виде:

(2.22)

Оптимальным называется линейный фильтр, импульсная характеристика которого представляет собой зеркаль­ное изображение временной функции сигнала, или такой фильтр, частотная характеристика которого представляет собой сопря­женный комплекс спектральной функции сигнала.

Определенный таким образом оптимальный фильтр дает на выходе максимальное отношение сигнал/шум в момент оконча­ния действия сигнала. Вместе с тем он обеспечивает и макси­мальное значение функции правдоподобия.

Для сигнала u_x(t) длительностью Т оптимальным является фильтр с импульсной характеристикой

. (2.23)

В качестве примера на рис. 2.6 приведены временная функция сигнала u_x(t) и импульсная ха­рактеристика соответствующего ему оптимального фильтра.

	Из рисунка 2.6 можно установить справедливость (2.23). Обо­значая t' = t – τ и подставляя (2.23) в (2.22), получим . (2.24) Величина сигнала на выходе оптимального фильтра макси­мальна в момент окончания действия сигнала, т.е. при t =T.
Рис. 2.6 Сигнал и импульсная характеристика фильтра

Полагая в (2.24) t = t_o = T и учиты­вая, что при t<0 и t>T сигнал отсут­ствует, получим

(2.25)

или, полагая t =τ, запишем

. (2.26)

Последнее выражение с точностью до постоянного множи­теля совпадает с выражением (2.14). Следовательно, опти­мальный фильтр осуществляет оптимальную обработку сигнала и позволяет получить максимум обратной вероятности р_у(х) или функции правдоподобия р_х(у).

Следует иметь в виду, что при оптималь­ной в смысле получения максимума функции правдоподобия обработке сигнала форма сигнала может заметно искажаться. Например, если на вход оптимального фильтра поступает прямоугольный импульс (рис. 2.7, а), на его выходе сигнал имеет треугольную форму (рис. 2.7,6), колебания в оптимальном фильтре нарастают, на­капливаются и в момент окончания действия сигнала имеют максимальную величину.

Рис. 2.7 Сигнал и отклик оптимального фильтра

Спад импульса не представляет инте­реса, непроизводительно занимает время и поэтому может со­кращаться путем изменения постоянной времени фильтра, на­пример путем включения шунтирующего диода.

В реальных условиях реализовать оптимальный фильтр можно с определенным приближением. Например, для накопления (интегрирования) высокочастотного импульсного сигнала (рис. 2.7, а) практически используют резонансный элемент (ко­лебательный контур высокой добротности, кварцевый фильтр и т. д.), в котором накопление осуществляется примерно так же, как и в оптимальном фильтре. Полосу пропускания такого ква­зиоптимального фильтра выбирают в соответствии с выражением

, (2.27)

где Т — длительность сигнала;

t_y — время установления колебаний в фильтре (контуре).

	Форма сигнала на выходе квазиоптимального фильтра (рис.2.8) в случае прямоугольного радиоимпульса на входе (рис.2.7,а) близка к фор­ме сигнала на выходе опти­мального фильтра при та­ком же входном импульсе.
Рис. 2.8. Отклик квазиоптимального фильтра

Отличие заключается в том, что в оптимальном фильтре нарастание колебаний осуществляется линейно, а в квазиоптимальном - по экспоненциальному закону.

Замена оптимального фильтра квазиоптимальным приводит к незначительным потерям в отношении сигнал/шум. В случае прямоугольного импульса отношение сигнал/шум на выходе квазиоптимального фильтра с прямоугольной амплитудно-ча­стотной характеристикой

(2.28)

в 1,22 раза (примерно на 1 дб) меньше, чем на вы­ходе оптимального фильтра. Для реальных импульсных сигна­лов, отличающихся от прямоугольной формы, колебательный контур еще ближе к оптимальному фильтру, так как имеет ча­стотную характеристику, более близкую к спектру реального (не прямоугольного) радиоимпульса, чем к спектру прямоугольного. Поэтому в реальных условиях в качестве квазиоптимального фильтра для одиночного радиоимпульса используют обычно ко­лебательный контур или кварцевый фильтр.