13.5. Свойства матриц полного и дробного факторного экспериментов
Для матриц ПФЭ и ДФЭ характерны следующие свойства:
1. Свойство симметричности относительного центра эксперимента – алгебраическая сумма элементов столбца каждого фактора равна нулю
,
(13.11)
где
– номер опыта;
- номер фактора.
2. Свойства нормировки – сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов:
(13.12)
3. Свойство ортогональности – сумма построчных произведений элементов любых двух столбцов равна 0.
,
(13.13)
где
– номера факторов, причём
.
Ортогональность матрицы позволяет оценить все коэффициенты уравнения регрессии независимо от того, какие величины имеют другие коэффициенты. Если тот или иной коэффициент окажется незначимым, то его можно отбросить, не пересчитывая остальных.
4.Свойство ротатабельности: точки в матрице планирования подбирают так, что математическая модель, полученная по результатам экспериментов, способна предсказать значения параметра оптимизации с одинаковой точностью в любых направлениях на равных расстояниях от центра эксперимента.
13.6. Рандомизация
Перед проведением эксперимента следует оценить условия, в которых он будет проходить. Под условиями в данном случае понимается наличие возмущающих и контролируемых входных параметров объекта, таких, как температура окружающей среды, её влажность, изменение характеристик образцов, используемых в эксперименте,
и т.п. Если условия могут изменяться непредсказуемым образом, то исключить их влияние можно с помощью приёма, называемого рандомизацией, которая заключается в реализации плана эксперимента таким путём, чтобы влиянию условий придать случайный характер.
Для исключения систематических ошибок рекомендуется опыты, предусмотренные матрицей, проводить в случайной последовательности. Порядок проведения опытов следует выбирать по таблице случайных чисел или путём обычной жеребьёвки.
Для компенсации влияния случайных погрешностей каждый опыт необходимо проводить n раз. Опыты, проводимые несколько раз при одних и тех же значениях факторов, называются параллельными. Под дублированием понимают постановку параллельных опытов. Обычное число параллельных опытов принимают равным 2-3, иногда 4-5. Существует три варианта дублирования опытов: 1 – равномерное, 2 – неравномерное, 3 – без дублирования.
При равномерном дублировании все строки матрицы планирования имеют одинаковое число параллельных опытов. В случае неравномерного дублирования числа параллельных опытов неодинаковы. При отсутствии дублирования параллельные опыты не проводятся. Наиболее предпочтительным является первый вариант, при котором эксперимент отличается повышенной точностью, а математическая обработка данных – простотой.
Использование приёма рандомизации покажем на примере. Допустим, необходимо провести ПФЭ 22, причём в каждом опыте предполагается осуществить два наблюдения. ПФЭ 22 предполагает проведение четырёх опытов, а с учётом параллельных опытов в нашем примере – 8. Теперь выберем в таблице случайных чисел (прил. 6) ряд чисел с 1 по 8, допустим следующий: 4, 2, 5, 6, 7, 3, 8 и 1 (ряд не должен иметь повторений). Следовательно, именно такую последовательность должны иметь наблюдения (табл. 13.6).Это значит, что по времени будут начинать с опыта № 4 (порядковый номер 8), затем выполнять опыт № 1 (порядковый номер 2) и т. д.
Таблица 13.6
Рандомизированная матрица планирования
№ опыта |
Х0 |
Х1 |
Х2 |
Порядковый № опыта и его повторения |
Случайная последовательность выполнения опытов |
1 |
+ |
- |
- |
1 2 |
4 2 |
2 |
+ |
+ |
- |
3 4 |
5 6 |
3 |
+ |
- |
+ |
5 6 |
7 3 |
4 |
+ |
+ |
+ |
7 8 |
8 1 |