- •13. Планирование экстремальных экспериментов. Планы первого порядка
- •13.1. Предварительное изучение объекта исследований. Постановка задачи в научной работе
- •13.2. Основные понятия и определения
- •13.2.1. Объект исследования
- •13.2.2. Математическая модель и уравнение регрессии
- •Принятие решения по результатам исследования
- •13.2.3. Параметр оптимизации
- •13.2.4. Факторы
- •13.2.5. Поверхность отклика
- •13.3. Полный факторный эксперимент
- •Кодирование факторов
- •13.4. Дробный факторный эксперимент
- •13.5. Свойства матриц полного и дробного факторного экспериментов
- •13.6. Рандомизация
- •13.7. Обработка результатов эксперимента
- •13.8. Анализ уравнения регрессии
- •15. Построение моделей второго порядка
- •15.1. Оптимальность планов
- •15.2. Ротатабельное планирование второго порядка
13.7. Обработка результатов эксперимента
Обработку результатов эксперимента при равномерном дублировании опытов можно представить следующей схемой.
1. Для каждой строки матрицы планирования вычисляют среднее арифметическое значение уj параметра оптимизации:
, (13.14)
где – номер параллельного опыта; – значение параметра оптимизации в -м параллельном опыте -й строки матрицы.
2. Определяют дисперсию каждого опыта матрицы планирования:
. (13.15)
3. Используя – критерий Кохрена, проверяют гипотезу однородности дисперсий опытов:
. (13.16)
Дисперсии однородны, если расчётное значение – критерия не превышает табличного значения – критерия (прил. 7).
4. Если дисперсии опытов однородны, то вычисляют дисперсию воспроизводимости эксперимента:
. (13.17)
5. Определяют коэффициенты уравнения регрессии:
свободный член
; (13.18)
коэффициенты регрессии, характеризующие линейные эффекты:
; (13.19)
коэффициенты регрессии, характеризующие эффекты взаимодействия:
, (13.20)
где - номера факторов; - кодированные значения факторов и в -м опыте.
6. Вычислив коэффициенты регрессии, проверяют их значимость. Одним из способов является оценка с помощью -критерия Стьюдента. Расчётное значение критерия Стьюдента вычисляют по выражению:
, (13.21)
где - ошибка в определении –го коэффициента;
, (13.22)
где - дисперсия –коэффициента регрессии (она одинакова для всех коэффициентов модели).
(13.23)
Полученный -критерий сравнивают с табличным (прил. 2). Коэффициент регрессии значим, если .
Критерий Стьюдента вычисляют для каждого коэффициента регрессии. Статистически незначимые коэффициенты исключаются из уравнения регрессии.
7. Определяют дисперсию адекватности (остаточную дисперсию) , которая характеризует рассеяние эмпирических значений у относительно расчётных у, определяемых по уравнению регрессии:
, (13.24)
где – среднее арифметическое значение параметра оптимизации в -м опыте; – значение параметра оптимизации, вычисленное по модели для условий -го опыта; – число степеней свободы равное N-(k+1), k – число факторов.
8. Проверка гипотезы адекватности найденной модели по – критерию Фишера:
. (13.25)
Табличное значение критерия отыскивается (прил. 8) по числам степеней свободы g = N(n-1) и m = N-(k +1). Условие адекватности модели > .
Поясним изложенное примером. В табл. 13.7 приведена матрица планирования ПФЭ 23 и его результаты. Для расчёта дисперсии воспроизводимости в эксперименте проводилось равномерное дублирование наблюдений (n=2), поэтому в табл. 13.7. приведены два значения параметра оптимизации уj и уj. Рассчитаем средние значения параметра оптимизации для каждого опыта. Для первого опыта имеем:
у1 = (80.23 + 81.93)/2 = 81.08,
и аналогично находим искомые значения для остальных опытов, помещая их в соответствующий столбец (см. табл. 13.7).
Далее находим yju = yju – yj, которые для первого опыта имеют величины:
у11 = 80.23 – 81.08 = -0.85; у12 = 81.93 – 81.08 = 0.85.
Аналогично находим значения для остальных опытов и результаты заносим в соответствующие столбцы, как и величины ( уj1)2=( уj2)2.
Теперь можно найти дисперсии опытов. В первом опыте имеем:
,
а остальные значения приведены в соответствующем столбце табл.13.7. Подсчитаем сумму этого столбца (она равна 5.214) и выделим в нём максимальную дисперсию S42 = 1.620. Теперь можно найти расчётное значение критерия Кохрена:
.
Табличное значение критерия Кохрена при N = 8 и = n –1 = 1 составляет = 0.7945, следовательно, можно сделать вывод о том, что дисперсии однородны (прил. 7).
Поскольку в рассматриваемом примере nj = const = 2, дисперсию воспроизводимости находим по формуле:
.
Таблица 13.7
Матрица планирования и результаты обработки ПФЭ 23
N |
X0 |
X1 |
X2 |
X3 |
Параметр Оптимизации |
∆уj1 |
∆yj2 |
(∆yj1)2= (∆yj2)2 |
Sj2 |
yj |
∆уj |
(∆yj)2 |
||
yj |
yj |
yj |
||||||||||||
1 |
+ |
- |
- |
- |
80.23 |
81.93 |
81.08 |
-0.85 |
0.85 |
0.722 |
1.444 |
80.88 |
0.2 |
0.040
|
2 |
+ |
+ |
- |
- |
86.50 |
84.80 |
85.65 |
0.85 |
-0.85 |
0.732 |
1.144 |
85.84 |
-0.19 |
0.036
|
3 |
+ |
- |
+ |
- |
82.45 |
82.10 |
82.27 |
0.18 |
-0.18 |
0.031 |
0.062 |
82.46 |
-0.19 |
0.036
|
4 |
+ |
+ |
+ |
- |
89.50 |
91.30 |
90.40 |
-0.90 |
0.90 |
0.810 |
1.620 |
90.22 |
0.18 |
0.032
|
5 |
+ |
- |
- |
+ |
85.10 |
84.30 |
84.95 |
0.15 |
-0.15 |
0.023 |
0.046 |
84.76 |
0.19 |
0.036
|
6 |
+ |
+ |
- |
+ |
90.30 |
89.60 |
89.95 |
0.35 |
-0.35 |
0.123 |
0.246 |
90.16 |
-0.21 |
0.044
|
7 |
+ |
- |
+ |
+ |
85.60 |
84.90 |
85.25 |
0.35 |
-0.35 |
0.123 |
0.246 |
85.46 |
-0.21 |
0.044
|
8 |
+ |
+ |
+ |
+ |
88.02 |
88.48 |
88.25 |
-0.23 |
0.23 |
0.053 |
0.106 |
88.06 |
0.19 |
0.036
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.607 |
5.214 |
|
|
0.304 |
Возникает вопрос: что делать, если дисперсии неоднородны? В этом случае надо либо отсеять выделяющиеся значения параметра оптимизации, полученные в ходе эксперимента в результате так называемых «промахов», либо, если установлено, что «промахов» допущено не было, следует увеличить число наблюдений в опыте.
Уравнение регрессии ПФЭ 23 имеет вид:
у = b0 + b1x1 + b2x2 + b3x3 + b12x1x2 + b13x1x3 + b23x2x3 + b123x1x2x3.Поэтому рассчитаем коэффициенты уравнения:
b0 = 1/8((+1)81.08+(+1)85.65+(+1)82.27+(+1)90.40+
+(+1)84.95+(+1)89.95+(+1)85.25+(+1)88.25) = 85.98
b1 = 1/8((-1)81.08+(+1)85.65+(-1)82.27+(+1)90.40+
+(-1)84.95+(+1)89.95+(-1)85.25+(+1)88.25) = 2.59;
b2 = 0.57, b3 = 1.13
b12 = 1/8((-1)(-1)81.08+(+1)(-1)85.65+(-1)(+1)82.27+(+1)(+1)90.4+
+(-1)(-1)84.95+(+1)(-1)89.95+(-1)(+1)85.25+(+1)(+1)88.25) = 0.20;
b13 = -0.59; b23 = -0.92; b123 = -0.70.
Следовательно модель имеет следующий вид:
у = 85.98+2.59X1+0.57X2+1.13X3+0.20X1X2–0.59X1X3–0.92X2X3-
–0.70X1X2X3.
Далее нужно проверить значимость оценок коэффициентов. Найдём дисперсию оценок коэффициентов:
,
и их квадратичную ошибку:
.
Табличное значение критерия Стьюдента при доверительной вероятности 0.95 и числе степеней свободы = N(n-1) = 8 составляет tтабл = 2.306 (прил. 2).
Вычислим расчётные значения tp-критерия Стьюдента и сравним с tтабл:
;
tp2 = 2.821; tp3 = 5.594; tp12 = 0.99; tp13 = 2.92; tp23 = 4.554; t123= 3.441.
Очевидно, что все оценки, за исключением b12, оказались значимыми. Тогда модель объекта будет иметь вид:
y = 85.98+2.59X1+0.57X2+1.13X3–0.59X1X3–0.92X2X3–0.70X1X2X3.
Далее находим дисперсию адекватности:
,
а следовательно, расчётное значение критерия Фишера:
.
Табличное значение критерия при g = 8 и m = 4 составляет (прил. 8) FT=6.04 (при 1-L=0.95).
Расчётное значение критерия существенно меньше табличного, и следовательно, модель является адекватной.