5.2 Понятие о центроидных механизмах

З убчатые механизмы относятся к разряду центроидных механизмов, в основе образования которых лежит центроида. Из теоретической механики известно, что мгновенное плоское движение твердого тела можно привести к одному мгновенному вращению вокруг оси, точка пересечения которой с плоскостью сечения твердого тела называется мгновенным центром вращения (МЦС). При непрерывном движении твердого тела мгновенная ось вращения описывает линейчатую поверхность (цилиндр), называемую аксоидом. В зависимости от того, к какой системе отсчета (неподвижной или движущейся вместе с телом) отнесена мгновенная ось вращения, получаются различные поверхности. Поэтому различают подвижный и неподвижный аксоиды. Аксоиды пересекаются с плоскостью сечения твердого тела по двум кривым, называемым центроидами.

В теоретической механике доказывается, что непрерывное движение твердого тела в плоскости можно представить как качение без скольжения подвижной центроиды по неподвижной, причем подвижная центроида считается жестко связанной с твердым телом, а неподвижная – с системой отсчета. Таким образом, любое плоское движение можно осуществить, подобрав надлежащие центроиды. Сказанное хорошо иллюстрируется на модели шарнирного антипараллелограмма. В этом случае центроидами являются эллипсы (рис.5.3). Снабдив их зубьями, получим эллиптическую зубчатую передачу, в которой при равномерном движении ведущего звена ведомое вращается неравномерно. Такие передачи используются, например, в текстильных машинах. На рис. 5.3 представлены и другие центроидные зубчатые механизмы, применяемые в технике. Но наибольшее применение получили механизмы, в которых центроидами служат окружности.

5.3 Основной закон зацепления

Простейшие зубчатые механизмы применялись еще в древнейшие времена, например, для передачи движения с водяного колеса на жернов. Профиль зубьев мог быть любым, выдерживался только постоянный шаг. Увеличение быстроходности передачи потребовало соответствующего профилирования зубьев. При случайном выборе профиля зубьев мгновенное передаточное отношение переменно, что недопустимо, т. к. колебания скорости выходного звена вызывают инерционные нагрузки, удары в передаче. Профиль зубьев должен быть таким, чтобы угловая скорость выходного звена была строго постоянной. Чтобы ответить на вопрос, каким должен быть профиль, вначале познакомимся с основным законом зацепления.

Нормаль, проведенная через точку касания двух профилей, делит межосевое расстояние на части, обратно пропорциональные угловым скоростям этих профилей.

Требуется доказать, что O₁P / O₂ P =ω₂ / ω₁ (рис.5.4)

Ч ерез точку А проведем нормаль N – N и касательную Т – Т и разложим скорости точек А₁ и А₂ на эти направления. Заметим, что v₁ = ω₁ r_1, v₂ = ω₂ r₂. Кроме того, v₁ⁿ = v₂ⁿ - из условия отсутствия вдавливания профилей или их размыкания. Тангенциальные составляющие v₁^τ ≠ v₂^τ, что обусловливает скольжение профилей. Из подобия треугольников AV₁V₁ⁿ и O₁B₁A следует:

V₁ⁿ/V₁ = r_b1 / r₁ откуда V₁ⁿ = ω₁ r_b1. Из подобия треугольников AV₂V₂ⁿ и O₂B₂A следует: V₂ⁿ / V₂ = r_b2 / r₂ откуда V₂ⁿ = ω₂ r_b2. Учитывая, что V₁ⁿ = V₂ⁿ, получим ω₁ r_b1 = ω₂ r_b2.

Из подобия треугольников O₁B₁P и O₂B₂P следует r_b1 / r_b2 = O₁P / O₂P. С учетом записанных выше соотношений получим ω₁ / ω₂ = O₂P / O₁P, что и требовалось доказать.

Следствие основного закона зацепления: для постоянства передаточного отношения необходимо, чтобы нормаль, проведенная через точку касания двух профилей, пересекала межосевую линию в постоянной точке (полюсе зацепления). Иными словами требуется неизменность положения полюса.

В качестве профилей зубьев могут использоваться кривые, для которых выполняется указанное требование, Такие кривые называются сопряженными. К ним, в частности, относится эвольвента окружности.