5.4 Эвольвента окружности, построение и свойства

Геометрическое место центров кривизны какой-либо кривой называют инволютой, а саму кривую – эвольвентой (рис. 5.5). При профилировании зубьев в качестве эволюты используется окружность, называемая в дальнейшем основной, а сам зуб очерчивается эвольвентой окружности. Единственным параметром, отличающим одну эвольвенту от другой, является радиус основной окружности.

Можно указать следующий способ образования эвольвенты. Выбирается основная окружность r_b, касающаяся ее производящая прямая и чертящая точка на ней. Перекатывая производящую прямую по окружности без скольжения, получаем траекторию чертящей точки, которая является эвольвентой, т.к. мгновенные радиусы кривизны ее лежат на основной окружности. Эвольвенту можно получить, наматывая нить с чертящей точкой на диск (рис. 5.5). Две чертящие точки дадут две эквидистантные (равноотстоящие) эвольвенты.

Приближенное графическое построение эвольвенты как кривой, составленной из множества дуг окружностей, представлено на рис.5.5 б.

Из определения эвольвенты и из указанных выше способов ее построения вытекают следующие очевидные свойства:

1. Нормаль эвольвенты касается основной окружности.

2. Радиус кривизны эвольвенты равен длине нормали.

3. Длина нормали эвольвенты равна длине соответствующей дуги основной окружности

4. Расстояние между эквидистантными эвольвентами равно длине соответствующей дуги основной окружности

5.5 Уравнение эвольвенты в полярных координатах

Наиболее удобная форма записи уравнения эвольвенты – в полярных координатах в параметрической форме. В качестве параметра принимается угол профиля эвольвенты. Углом профиля эвольвенты α_y называется угол между направлением радиус–вектора к текущей точке Y и направлением касательной Т – Т. Он изменяется в пределах 0 - 90˚, практически используется участок эвольвенты, где α_y = 0 - 30˚.

Полярные координаты r_y и θ_y укажут положение точки Y. Установим зависимость r_y и θ_y от параметра α_y.

Проведем из точки Y нормаль N –N, которая по 1-му свойству эвольвенты коснется основной окружности в точке В. Заметим, что угол BOY равен углу профиля эвольвенты в данной точке. Из треугольника OBY следует

r_y = r_b / cos α_y

Введем угол ν_y, тогда ν_y = α_y + θ_y, откуда следует θ_y = ν_y - α_y.

Из построений на рис. 5.6 и в силу 3-го свойства эвольвенты длина дуги ВА₀ равна BY. Из треугольника BYO следует BY/r_b = tg α_y. На основании приведенных зависимостей нетрудно установить, что центральный угол ν_y = tg α_y. Функция θ_y = tg α_y - α_y получила название эвольвентной функции или инволюты. Иногда используется условное обозначение θ_y = - inv α_y.

5.6 Эвольвентное зацепление

На рис. 5.7 представлено зацепление эвольвентных профилей. Общая нормаль N – N. Проведенная через точку касания двух профилей, обязана согласно 1-му свойству эвольвенты, коснуться основных окружностей. Поскольку таких окружностей две, положение нормали единственно и неизменно. Тем самым подтверждается выполнение следствия основного закона зацепления. В процессе зацепления точка касания профилей не может сойти с общей нормали N – N, т.к. в противном случае нарушилось бы 1-ое свойство. Установлено, что при эвольвентном зацеплении профилей точка касания движется по общей нормали с постоянной скоростью.

Введем две окружности, проходящие через полюс зацепления. Такие окружности называются начальными. Они перекатываются друг по другу без скольжения и служат центроидами зубчатых колес.

Эвольвентное зацепление получило широкое распространение благодаря ряду достоинств:

1. Эвольвентное зацепление нечувствительно к небольшому изменению межосевого расстояния, что удешевляет изготовление корпусных деталей.

2. Для нарезания эвольвентных зубчатых колес можно применять простой инструмент с прямолинейной режущей кромкой.

3. При изготовлении колес путем простого смещения инструмента можно добиваться новых положительных свойств.