- •Часть 2
- •Содержание
- •Введение
- •На основании теоремы для функции f(X), интегрируемой с квадратом на отрезке [-l, l], тригонометрическим многочленом наилучшего среднеквадратичного приближения является тригонометрический многочлен
- •Тригонометрический многочлен (6) с коэффициентами Фурье (7) представляет собой n-ю частичную сумму ряда Фурье, сходящегося к функции f(X) на отрезке [-l, l]:
- •Порядок выполнения лабораторной работы.
- •Варианты.
- •Порядок выполнения работы.
- •Типовой отчет.
- •Варианты.
- •Порядок выполнения работы.
- •Типовой отчет.
- •Варианты.
- •Порядок выполнения работы.
- •Типовой отчет.
- •Варианты.
- •Порядок выполнения работы.
- •Типовой отчет.
- •Варианты.
- •Порядок выполнения лабораторной работы.
- •Типовой отчет.
- •Варианты.
- •Вид рабочего листа ms Excel.
- •Лабораторная работа № 14
- •Элементы теории
- •Порядок выполнения лабораторной работы.
- •Типовой отчет.
- •Варианты.
- •Вид рабочего листа ms Excel.
- •Заключение
- •Литература
- •Часть 2
Типовой отчет.
1. Функция f(x) определена таблицей
xi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
yi |
2 |
2,69 |
3,1 |
3,39 |
3,61 |
Требуется аппроксимировать функцию у = f(x) алгебраическими многочленами наилучшего среднеквадратичного приближения Qn(x), n = 0 4 и оценить погрешности каждого приближения.
2. Вычисляем значения многочленов Чебышева в заданных точках xi , i = 1, … , 5 по формулам:
где ,
Квадраты норм многочленов Чебышева вычисляются по формуле:
.
Коэффициенты Фурье аппроксимационных многочленов вычисляются по формуле:
.
Результаты расчетов приведены в 2-х таблицах.
xi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
yi = f(xi) |
2 |
2.69 |
3.1 |
3.39 |
3.61 |
go(xi) |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
g1(xi) |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
g2(xi) |
2 |
-1 |
-2 |
-1 |
2 |
g3(xi) |
-1.2 |
2.4 |
0 |
-2.4 |
1.2 |
g4(xi) |
0.342857 |
-1.37143 |
2.057143 |
-1.37143 |
0.342857 |
g2o(xi) |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
g21(xi) |
4 |
1 |
0 |
1 |
4 |
g22(xi) |
4 |
1 |
4 |
1 |
4 |
g23(xi) |
1.44 |
5.76 |
0 |
5.76 |
1.44 |
g24(xi) |
0.117551 |
1.880816 |
4.231837 |
1.880816 |
0.117551 |
k |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
5 |
10 |
14 |
14.4 |
8.228571 |
ak |
|
3 |
3 |
3 |
3 |
bk |
|
|
2 |
1.4 |
1.028571 |
Сk |
2.958 |
0.392 |
-0.07571 |
0.0175 |
-0.00458 |
3. Значения многочленов наилучшего приближения вычисляем по формуле:
xi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Qo(xi) |
2.958 |
2.958 |
2.958 |
2.958 |
2.958 |
Q1(xi) |
2.174 |
2.566 |
2.958 |
3.35 |
3.742 |
Q2(xi) |
2.022571 |
2.641714 |
3.109429 |
3.425714 |
3.590571 |
Q3(xi) |
2.001571 |
2.683714 |
3.109429 |
3.383714 |
3.611571 |
Q4(xi) |
2 |
2.69 |
3.1 |
3.39 |
3.61 |
4. Квадрат нормы функции f(x) : .
5. Квадрат наименьшего среднеквадратичного отклонения аппроксимационных многочленов:
.
Оценка точности полученных приближений:
Результаты расчетов представлены в таблице.
k |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
1.62148 |
0.08484 |
0.004583 |
0.000173 |
4.92E-15 |
|
0.189047 |
0.043243 |
0.01005 |
0.001952 |
1.04E-08 |
Многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения Q4(x) проходит через все пять заданных точек функции, так как является многочленом 4-го порядка. Поэтому можно графически оценивать точность полученных приближений меньших порядков по расхождению их графиков с графиком функции Q4(x) = f(x).