- •Часть 2
- •Содержание
- •Введение
- •На основании теоремы для функции f(X), интегрируемой с квадратом на отрезке [-l, l], тригонометрическим многочленом наилучшего среднеквадратичного приближения является тригонометрический многочлен
- •Тригонометрический многочлен (6) с коэффициентами Фурье (7) представляет собой n-ю частичную сумму ряда Фурье, сходящегося к функции f(X) на отрезке [-l, l]:
- •Порядок выполнения лабораторной работы.
- •Варианты.
- •Порядок выполнения работы.
- •Типовой отчет.
- •Варианты.
- •Порядок выполнения работы.
- •Типовой отчет.
- •Варианты.
- •Порядок выполнения работы.
- •Типовой отчет.
- •Варианты.
- •Порядок выполнения работы.
- •Типовой отчет.
- •Варианты.
- •Порядок выполнения лабораторной работы.
- •Типовой отчет.
- •Варианты.
- •Вид рабочего листа ms Excel.
- •Лабораторная работа № 14
- •Элементы теории
- •Порядок выполнения лабораторной работы.
- •Типовой отчет.
- •Варианты.
- •Вид рабочего листа ms Excel.
- •Заключение
- •Литература
- •Часть 2
Варианты.
Функция f(x) определена таблицей. Требуется аппроксимировать функцию у = f(x) алгебраическими многочленами наилучшего среднеквадратичного приближения Qn(x), n = 0 4 и оценить погрешности каждого приближения. Построить графики полученных приближений и сравнить их с графиком функции Q4(x) = f(x).
1. |
xi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
2. |
xi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
yi |
1,1 |
1,4 |
1,6 |
1,7 |
1,9 |
|
yi |
1,06 |
1,55 |
1,7 |
1,75 |
1,8 |
3. |
xi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
4. |
xi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
yi |
0,4 |
0,55 |
0,13 |
0,09 |
0,07 |
|
yi |
7,5 |
6,2 |
5,5 |
3,5 |
3 |
5. |
xi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6. |
xi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
yi |
8,2 |
5,9 |
4,9 |
4 |
3,2 |
|
yi |
7,2 |
5,9 |
4,9 |
4 |
3,2 |
7. |
xi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
8. |
xi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
yi |
7,1 |
6,1 |
4,9 |
4, |
3,1 |
|
yi |
0,55 |
0,7 |
0,77 |
0,82 |
0,85 |
9. |
xi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
10. |
xi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
yi |
1,1 |
1,55 |
1,9 |
2,3 |
2,6 |
|
yi |
1,1 |
1,55 |
1,9 |
2,25 |
2,5 |
11. |
xi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
12. |
xi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
yi |
5,1 |
4,4 |
3,2 |
2,7 |
2,55 |
|
yi |
5,1 |
3,4 |
3,2 |
2,7 |
2,55 |
13. |
xi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
14. |
xi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
yi |
1,9 |
5,5 |
10 |
15 |
21 |
|
yi |
3 |
3,5 |
3,67 |
3,75 |
3,8 |
15. |
xi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
16. |
xi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
yi |
0,25 |
0,09 |
0,07 |
0,05 |
0,04 |
|
yi |
0,25 |
0,111 |
0,071 |
0,053 |
0,042 |
17. |
xi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
18. |
xi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
yi |
0,20 |
0,28 |
0,33 |
0,36 |
0,38 |
|
yi |
4,8 |
5,76 |
6,912 |
8,294 |
9,95 |
19. |
xi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
20. |
xi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
yi |
1 |
3,08 |
4,3 |
5,16 |
5,83 |
|
yi |
0,33 |
0,5 |
0,6 |
0,67 |
0,71 |
21. |
xi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
22. |
xi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
yi |
1,5 |
1,75 |
1,83 |
1,87 |
1,9 |
|
yi |
1 |
0,2 |
0,11 |
0,077 |
0,059 |
23. |
xi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
24. |
xi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
yi |
1 |
0,4 |
0,33 |
0,31 |
0,29 |
|
yi |
2,25 |
3,37 |
5,06 |
7,59 |
11,4 |
Вид рабочего листа MS Excel.
Лабораторная работа № 10
"Метод наименьших квадратов"
Элементы теории.
Пусть данные некоторого эксперимента представлены в виде таблицы значений переменных x и y :
-
xi
x1
x2
…
xm
yi
y1
y2
…
ym
Ставится задача об отыскании аналитической зависимости между x и y, то есть некоторой формулы y = f(x), явным образом выражающей y, как функцию х. Естественно требовать, чтобы график искомой функции y = f(x) изменялся плавно и не слишком уклонялся от экспериментальных точек (xi , yi ). Поиск такой зависимости называют "сглаживанием" экспериментальных данных или "подгонкой" кривой.
Эту задачу можно решить, используя метод наименьших квадратов (МНК). Согласно МНК указывается вид эмпирической формулы
y = Q(x, a0 , a1 , … , an),
где a0 , a1 , … , an – числовые параметры.
Наилучшими значениями параметров a0 , a1 , … , an , которые обозначим , считаются те, для которых сумма квадратов уклонений функции y = Q(x, a0 , a1 , … , an) от экспериментальных точек (xi , yi ) , i = 1, 2, … , m является минимальной, то есть функция
в точке достигает минимума. Используя необходимые условия экстремума функции нескольких переменных, получаем систему уравнений для определения параметров :
.
Если система имеет единственное решение , то оно является искомым и аналитическая зависимость между экспериментальными данными определяется формулой:
.
В общем случае система уравнений для определения оптимальных значений параметров нелинейна.
Рассмотрим аппроксимирующие зависимости с двумя параметрами у = Q(x, , ). Используя необходимые условия экстремума функции двух переменных, получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными и :
.
В частном случае аппроксимации экспериментальных данных с помощью линейной функции имеем:
.
Система уравнений для определения оптимальных параметров аппроксимирующей прямой в этом случае линейна относительно неизвестных k и b:
Ее решением является:
.
Пусть для переменных x и y соответствующие значения экспериментальных данных (xi , yi ) не располагаются вблизи прямой. Тогда можно выбрать новые переменные X = (x, y) и Y = (x, y) так, чтобы преобразованные экспериментальные данные Xi = (xi , yi ) и Yi = (xi , yi ) в новой системе координат (X, Y) давали точки (Xi , Yi ) , менее уклоняющиеся от прямой Y = kX + b. Числа k и b определяются по приведенным выше формулам, где вместо xi и yi подставляют соответствующие значения xi и yi. Функциональная зависимость y = f(x) определена неявно уравнением (x, y) = k (x, y) + b, которое разрешимо относительно y в частных случаях.
Рассмотрим шесть вариантов преобразования переменных, в которых возможно явное выражение переменной y из уравнения (x, y) = k (x, y) + b. В таблице приведены формулы преобразования переменных, явная эмпирическая формула y = f(x), зависящая от двух параметров и , выражение этих параметров через коэффициенты, полученные с помощью МНК.
№ |
Выравнивание данных (преобразование переменных) |
Эмпирическая формула |
1. |
X = x, Y = xy |
|
2. |
|
|
3. |
|
|
4. |
|
|
5. |
|
|
6. |
|
|
Условием выбора наилучшей эмпирической формулы является наименьшее уклонение исходных данных от графика полученной зависимости, которое в каждом варианте выравнивания данных определяется величиной:
.
Для наилучшей эмпирической формулы величина dj , j = 06 является наименьшей, j = 0 соответствует случаю, когда преобразования переменных не производится, то есть Xi = xi и Yi = yi .
Качество подгонки данных к прямой можно оценить с помощью коэффициента регрессии:
.
Известно, что | r | 1. Чем ближе | r | к единице, тем ближе зависимость между X и Y к линейной функциональной.
Естественно, что если не удается удовлетворительно построить функциональную зависимость, используя вид эмпирической формулы с двумя параметрами, то можно продолжать поиски среди формул с большим числом параметров.