- •Часть 2
- •Содержание
- •Введение
- •На основании теоремы для функции f(X), интегрируемой с квадратом на отрезке [-l, l], тригонометрическим многочленом наилучшего среднеквадратичного приближения является тригонометрический многочлен
- •Тригонометрический многочлен (6) с коэффициентами Фурье (7) представляет собой n-ю частичную сумму ряда Фурье, сходящегося к функции f(X) на отрезке [-l, l]:
- •Порядок выполнения лабораторной работы.
- •Варианты.
- •Порядок выполнения работы.
- •Типовой отчет.
- •Варианты.
- •Порядок выполнения работы.
- •Типовой отчет.
- •Варианты.
- •Порядок выполнения работы.
- •Типовой отчет.
- •Варианты.
- •Порядок выполнения работы.
- •Типовой отчет.
- •Варианты.
- •Порядок выполнения лабораторной работы.
- •Типовой отчет.
- •Варианты.
- •Вид рабочего листа ms Excel.
- •Лабораторная работа № 14
- •Элементы теории
- •Порядок выполнения лабораторной работы.
- •Типовой отчет.
- •Варианты.
- •Вид рабочего листа ms Excel.
- •Заключение
- •Литература
- •Часть 2
Порядок выполнения работы.
Пример. Результаты эксперимента представлены в виде таблицы значений переменных x и y :
-
xi
1
2
3
4
5
yi
7,1
27,8
62,1
110
161
Для семи вариантов аппроксимирующих зависимостей с двумя параметрами и методом наименьших квадратов определить их оптимальные значения, вычислить коэффициенты регрессии и оценки уклонения аппроксимирующих зависимостей от экспериментальных точек, на основе чего выбрать лучший вариант эмпирической формулы.
Вид рабочего листа MS Excel представлен на рисунке.
1. Оформим расчет для эмпирической формулы y = x + . Программирование расчетной области проведем, учитывая, что далее эта область будет копироваться для вариантов с преобразованием координат. В данном случае X = x, Y = y, = k, = b. В диапазоне А3:А13 располагаем заголовки строк. В диапазоне B3:F3 указываем номера экспериментальных точек, ячейка G3 = "Сумма". В диапазонах Н4:Н6 и Н11:Н13 располагаем названия параметров, получаемых в результате реализации МНК.
В диапазоне B4:F5
размещаем значения экспериментальных
точек. Вычисляем преобразованные
значения переменной Х
= х: ячейка
В6 = "=B4"
и протягиваем формулу в диапазон C6:F6.
Вычисляем преобразованные значения
переменной Y
= y:
ячейка В7 =
"=B5" и
протягиваем формулу в диапазон C7:F7.
Вычисляем значения
:
ячейка В8 =
"=B6^2" и
протягиваем формулу в диапазон C8:F8.
Вычисляем значения
:
ячейка В9 =
"=B7^2" и
протягиваем формулу в диапазон C9:F9.
Вычисляем значения
:
ячейка В10 =
"0числяем
йаем формулу в диапаения х
точек.
Вычисляем коэффициент : ячейка I4 = "=(5*G10-G6*G7)/(5*G8-G6^2)". Вычисляем коэффициент : ячейка I5 = "=(G7-I4*G6)/5". Вычисляем коэффициент регрессии : ячейка I6 = "=(5*G10-G6*G7)/КОРЕНЬ((5*G8-G6^2)*(5*G9-G7^2))". Таким образом, рассчитана линейная регрессия для преобразованных переменных.
Программируем переход к исходным переменным. Вычисляем значение коэффициента = k исходной эмпирической формулы: ячейка I11 = "=I4". Вычисляем значение коэффициента = b исходной эмпирической формулы: ячейка I12 = "=I5". Вычисляем прогнозное значения исходной зависимой переменной yпi = xi + : ячейка В11 = "=$I$11*B4+$I$12" и протягиваем формулу в диапазон C11:F11. Вычисляем значения ( yi – yпi)2: ячейка В12 = "=(B5-B11)^2" и протягиваем формулу в диапазон C12:F12. Вычисляем значения : ячейка В13 = "=B5^2" и протягиваем формулу в диапазон C13:F13. Вычисляем суммы всех определенных величин протяжкой формулы из ячейки G10 в диапазон G11:G13. Вычисляем оценку уклонения аппроксимирующих зависимостей от экспериментальных точек по формуле : ячейка I13 = "=КОРЕНЬ(G12/G13)". Строим графики заданной функции и рассчитанной по методу наименьших квадратов. Для этого выделяется диапазон A4:F5, при нажатой клавише Ctrl выделяется диапазон A11:F11, с помощью мастера диаграмм строятся графики, используя точечную диаграмму со значениями, соединенными сглаженными значениями без маркеров, и применяя соответствующее форматирование графиков. Исследование эмпирической формулы y = x + закончено. Получено уравнение y = 39 x - 43,4 ; оценка уклонения аппроксимирующей зависимости от экспериментальных точек d0 = 0,09749.
2. При исследовании
остальных аппроксимирующих формул
будем копировать диапазон исследования
предшествующей формулы ниже по рабочему
листу MS
Excel.
При этом изменяется содержимое следующих
ячеек (адресация дана по диапазону
исследования первой функции): заголовок
исследуемой функции А2,
номер мененыпирической
функцииной их формул будем копировать
предшествующий
диа
3. Исследуем формулу . В данном примере диапазон A2:I33 копируется в ячейку А34. При этом делаются следующие изменения. Изменяем формулу преобразованной переменной Y = xy: ячейка B39 = "=B36*B37" и протягиваем формулу в диапазон C39:F39. Изменяем формулу вычисления исходной эмпирической функции : ячейка В43 = "=$I$43+$I$44/B36" и протягиваем формулу в диапазон C43:F43. Получено уравнение ; оценка уклонения аппроксимирующей зависимости от экспериментальных точек d1 = 0,56208.
4. Исследуем формулу . В данном примере диапазон A34:I65 копируется в ячейку А67. При этом делаются следующие изменения. Изменяем формулу преобразованной переменной : ячейка B72 = "=1/B70" и протягиваем формулу в диапазон C72:F72. Изменяем формулу вычисления исходной эмпирической функции : ячейка В76 = "=1/($I$76*B69+$I$77)" и протягиваем формулу в диапазон C76:F76. Получено уравнение ; оценка уклонения аппроксимирующей зависимости от экспериментальных точек d2 = 1,08032.
5. Исследуем формулу . В данном примере диапазон A67:I98 копируется в ячейку А100. При этом делаются следующие изменения. Изменяем формулу преобразованной переменной : ячейка B105 = "=B102/B103" и протягиваем формулу в диапазон C105:F105. Изменяем формулу вычисления исходной эмпирической функции : ячейка В109 = "=B102/($I$109*B102+$I$110)" и протягиваем формулу в диапазон C109:F109. Получено уравнение ; оценка уклонения аппроксимирующей зависимости от экспериментальных точек d3 = 0,87564.
6. Исследуем формулу . В данном примере диапазон A100:I131 копируется в ячейку А132. При этом делаются следующие изменения. Изменяем формулу преобразованной переменной : ячейка B137 = "=LN(B135)" и протягиваем формулу в диапазон C137:F137. Изменяем коэффициент : ячейка I141 = "=EXP(I135)". Изменяем коэффициент : ячейка I142 = "=EXP(I134)". Изменяем формулу вычисления исходной эмпирической функции : ячейка В141 = "=$I$141*$I$142^B134" и протягиваем формулу в диапазон C141:F141. Получено уравнение ; оценка уклонения аппроксимирующей зависимости от экспериментальных точек d4 = 0,27098.
7. Исследуем формулу . В данном примере диапазон A132:I163 копируется в ячейку А165. При этом делаются следующие изменения. Изменяем формулу преобразованной переменной X = ln x: ячейка B169 = "=LN(B167)" и протягиваем формулу в диапазон C169:F169. Изменяем формулу преобразованной переменной Y = y : ячейка B170 = "=B168" и протягиваем формулу в диапазон C170:F170. Изменяем коэффициент = k : ячейка I174 = "=I167". Изменяем коэффициент = b : ячейка I175 = "=I168". Изменяем формулу вычисления исходной эмпирической функции : ячейка В174 = "=$I$174*LN(B167)+$I$175" и протягиваем формулу в диапазон C174:F174. Получено уравнение ; оценка уклонения аппроксимирующей зависимости от экспериментальных точек d5 = 0,23137.
8. Исследуем формулу
.
В данном примере диапазон A165:I196
копируется в ячейку А197.
При этом делаются следующие изменения.
Изменяем формулу преобразованной
переменной Y
= ln
y
: ячейка
B202
= "=LN(B200)" и
протягиваем формулу в диапазон C202:F202.
Изменяем коэффициент
= e
b
: ячейка
I206
= "=EXP(I200)".
Изменяем коэффициент
= k
: ячейка I207
= "=I199".
Изменяем формулу вычисления исходной
эмпирической функции
:
ячейка В206 =
"=$I$206*B199^$I$207" и
протягиваем формулу в диапазон C206:F206.
Получено уравнение
yобладает
функция
Наименьшей оценкой уклонения аппроксимирующей зависимости от экспериментальных точек, равной d6 = 0,0279 , обладает функция .