- •Глава I. Линейные операторы в евклидовом и унитарном пространствах.
- •§1.1. Евклидовы и унитарные пространства.
- •§1.2. Изоморфизм унитарных пространств.
- •§1.3. Линейные функции.
- •§1.4. Сопряжённые операторы.
- •§1.5. Нормальные операторы.
- •§1.6. Унитарные операторы.
- •§1.7. Эрмитовы (самосопряжённые) операторы.
- •§1.8. Кососимметрические операторы.
- •§1.9. Неотрицательные линейные операторы.
- •§1.10. Линейные операторы в евклидовом пространстве.
- •Глава II. Квадратичные формы.
- •§2.1. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
- •§2.2. Приведение квадратичной формы к главным осям.
- •§2.3. Закон инерции.
- •§2.4. Распадающиеся квадратичные формы.
- •§2.5. Положительно определенные формы.
- •§2.6. Пары форм.
- •Глава III. Жорданова нормальная форма матрицы.
- •§3.1. Матрицы, их эквивалентность.
- •§3.2. Унимодулярные -матрицы.
- •§3.3. Матричные многочлены.
- •§3.4. Связь подобия числовых матриц с
- •§ 3.5. Жорданова нормальная форма.
- •§ 3.6. Приведение матрицы к жордановой нормальной форме.
- •§ 3.7. Минимальный многочлен.
- •§1.1. Евклидовы и унитарные пространства. 3
§2.6. Пары форм.
Пусть дана пара действительных квадратичных форм от неизвестных, и . Существует ли такое невырожденное линейное преобразование неизвестных , которое одновременно приводило бы обе эти формы к каноническому виду?
В общем случае ответ будет отрицательным. Рассмотрим, например, пару форм
.
Пусть существует невырожденное линейное преобразование
приводящее обе эти формы к каноническому виду. Для того чтобы форма могла быть приведена указанным преобразованием к каноническому виду, один из коэффициентов должен быть равен нулю, иначе вошло бы слагаемое . Меняя, если нужно, нумерацию неизвестных , можно положить, что и поэтому . Мы получим теперь, однако, что
.
Так как форма также должна была перейти в канонический вид, то , т. е. , что вместе с противоречит невырожденности указанного линейного преобразования.
Ситуация будет иной, если мы положим, что хотя бы одна из наших форм, например , является положительно определенной.
ТЕОРЕМА. Если и пара действительных квадратичных форм от неизвестных, причем вторая из них положительно определенная, то существует невырожденное линейное преобразование, одновременно приводящее форму к нормальному виду, а форму к каноническому виду.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Выполним сначала невырожденное линейное преобразование неизвестных ,
,
приводящее положительно определенную форму к нормальному виду,
.
Форма перейдет при этом в некоторую форму от новых неизвестных,
.
Совершим теперь ортогональное преобразование неизвестных ,
,
приводящее форму к главным осям,
.
Это преобразование переводит сумму квадратов неизвестных в сумму квадратов неизвестных (что следует из формулы ). В результате мы получаем
,
.
т. е. линейное преобразование
является искомым. □
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ II.
15. Записать матрицу квадратичной формы , если:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) ;
е) ;
ж) ;
з) ;
и) ;
к) .
16. Записать квадратичную форму в виде по заданной матрице , если:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
17. Определить ранг квадратичной формы , если:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .
18. Привести к каноническому виду квадратичную форму и найти выражение новых неизвестных через старые, если:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) ;
е) .
19. Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду (приведение к главным осям), и написать этот канонический вид, если:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) ;
е) ;
ж) ;
з) ;
и) ;
к) ;
л) ;
м) .
20. Исследовать на знакоопределённость каждую из данных квадратичных форм:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) ;
е) .
21. Исследовать, при каких значениях является знакоопределённой каждая из данных квадратичных форм:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) ;
е) ;
ж) .