- •Глава I. Линейные операторы в евклидовом и унитарном пространствах.
- •§1.1. Евклидовы и унитарные пространства.
- •§1.2. Изоморфизм унитарных пространств.
- •§1.3. Линейные функции.
- •§1.4. Сопряжённые операторы.
- •§1.5. Нормальные операторы.
- •§1.6. Унитарные операторы.
- •§1.7. Эрмитовы (самосопряжённые) операторы.
- •§1.8. Кососимметрические операторы.
- •§1.9. Неотрицательные линейные операторы.
- •§1.10. Линейные операторы в евклидовом пространстве.
- •Глава II. Квадратичные формы.
- •§2.1. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
- •§2.2. Приведение квадратичной формы к главным осям.
- •§2.3. Закон инерции.
- •§2.4. Распадающиеся квадратичные формы.
- •§2.5. Положительно определенные формы.
- •§2.6. Пары форм.
- •Глава III. Жорданова нормальная форма матрицы.
- •§3.1. Матрицы, их эквивалентность.
- •§3.2. Унимодулярные -матрицы.
- •§3.3. Матричные многочлены.
- •§3.4. Связь подобия числовых матриц с
- •§ 3.5. Жорданова нормальная форма.
- •§ 3.6. Приведение матрицы к жордановой нормальной форме.
- •§ 3.7. Минимальный многочлен.
- •§1.1. Евклидовы и унитарные пространства. 3
§1.5. Нормальные операторы.
Линейный оператор унитарного пространства называется нормальным, если
,
т. е. если он перестановочен со своим сопряжённым.
Если ортонормированный базис пространства и матрица нормального оператора в этом базисе, то по теореме из §1.3 имеем .
Справедливы следующие три теоремы о нормальных операторах.
ТЕОРЕМА 1. Всякий собственный вектор нормального оператора , соответствующий собственному значению будет и собственным вектором оператора , который соответствует комплексно-сопряжённому значению .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если линейный оператор, а тождественный оператор , то также линейный оператор, сопряжённым для которого будет (т. к. ). По условию нормальный оператор, значит . Нетрудно проверить, что
.
Из того, что является собственным вектором оператора следует, что , значит
То есть и . □
ТЕОРЕМА 2. Собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям нормального оператора будут ортогональны.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть .
Тогда
.
Откуда , следовательно , т. к. . □
ТЕОРЕМА 3. (основная о нормальных операторах). Для каждого нормального оператора в унитарном пространстве найдётся ортонормированный базис, составленный из собственных векторов оператора . Матрица имеет в этом базисе диагональный вид.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть характеристический корень линейного оператора (по основной теореме алгебры комплексных чисел [3] такой корень существует). Ему соответствует собственный вектор . Рассмотрим множество , которое является подпространством пространства и называется ортогональным к . Так как , то для любого вектора справедливо
.
Таким образом, как только . Такое подпространство называется инвариантным, относительно оператора .
Рассмотрим оператор , заданный на следующим образом: . Оно называется ограничением на . Заметим, что собственные векторы будут собственными векторами и .
Далее аналогично находим в собственный вектор оператора . Пусть подпространство векторов, ортогональных к и . будет опять инвариантным относительно , т. к. является пересечением двух инвариантных подпространств. В нём снова найдётся собственный вектор оператора . И т. д.
Продолжая указанную процедуру, получим ортогональный базис пространства , составленный из собственных векторов оператора . Остаётся нормировать этот базис.
В этом базисе матрица линейного оператора будет иметь диагональный вид [2]. □
§1.6. Унитарные операторы.
Линейный оператор унитарного пространства называется унитарным, если он сохраняет скалярное произведение векторов, т. е.
.
Непосредственно из определения унитарного оператора следует:
,
т. е. тождественный оператор. Следовательно, унитарный оператор можно определить как оператор, для которого .
Так как , заключаем, что унитарный оператор является частным случаем нормального оператора.
Если матрица оператора в некотором ортонормированном базисе, то матрица будет сопряжено транспонированной. Условие унитарности оператора в матричной форме будет выглядеть следующим образом: или . Такая матрица тоже называется унитарной.
Если линейный оператор рассматривается в евклидовом пространстве и сохраняет скалярное произведение, то его матрица в некотором базисе будет такой, что , т. е. транспонированная матрица совпадает с обратной. Такой оператор называют ортогональным, а его матрицу ортогональной.
ТЕОРЕМА 1. Линейный оператор унитарного пространства является унитарным тогда и только тогда, когда он сохраняет длину вектора, т. е. .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно,
.
В другую сторону, пусть . Тогда для любого справедливо: . Если сохраняет скалярное произведение, то . Раскрывая скобки и учитывая, что и , получим
(1)
При получаем
(2)
В случае евклидова пространства, т. к. , имеем .
Иначе, положим в (1) , получим
.
Прибавим полученное равенство к (2), тогда . □
ТЕОРЕМА 2. Линейный оператор унитарного пространства является унитарным тогда и только тогда, когда переводит любой ортонормированный базис этого пространства снова в ортонормированный.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть ортонормированный базис пространства . По определению унитарного пространства , значит, . А по предыдущей теореме .
Обратно, пусть
, , тогда . Так как по предположению переводит ортонормированный базис в ортонормированный, то
.
Следовательно, унитарный оператор. □
ТЕОРЕМА 3. (основная об унитарных операторах). Матрица унитарного оператора в подходящем ортонормированном базисе является диагональной, с диагональными элементами, равными по модулю единице.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как является частным случаем нормального оператора, то по основной теореме о нормальных операторах, в некотором ортонормированном базисе он задаётся диагональной матрицей. Покажем, что собственные значения по модулю равны 1.
Пусть . тогда
.
Но , т. е. . Значит, , т. е. . □