§3.3. Матричные многочлены.
Будем называть матричным многочленом порядка над полем многочлен от , коэффициентами которого служат квадратные матрицы одного и того же порядка с элементами из поля ; его общим видом будет:
(1)
Всякий матричный многочлен порядка можно записать в виде матрицы порядка . Так, например
.
И обратно, всякая матрица порядка может быть записана в виде матричного многочлена порядка . Так,
Соответствие между матрицами и матричными многочленами является взаимно однозначным и изоморфным. Действительно, равенство многочленов вида (1) как матриц равносильно равенству матричных коэффициентов при одинаковых степенях , а умножение матрицы на равносильно умножению ее на числовую матрицу с на главной диагонали.
Пусть дана матрица , причем
,
где матрица
не является нулевой. Число
назовем степенью
матрицы
;
это будет наивысшая степень (по
)
элементов матрицы
.
Изоморфизм между матрицами и матричными многочленами позволяет развивать для матриц теорию делимости, аналогичную теории делимости для числовых многочленов, но усложняемую некоммутативностью умножения матриц и наличием делителей нуля. Рассмотрим алгоритм деления с остатком.
ТЕОРЕМА. Пусть над полем даны матрицы порядка
,
,
причем предположим,
что матрица
невырожденная, т. е. существует матрица
.
Тогда над полем
можно найти такие
матрицы
и
того же порядка
,
что
,
(2)
причем степень
меньше степени
или же
.
С другой стороны, над полем
можно найти такие
матрицы
и
порядка
,
что
,
(3)
причем степень
меньше степени
или же
.
Матрицы
и
,
а также
и
,
удовлетворяющие этим условиям,
определяются однозначно.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
этой теоремы проходит так же, как
доказательство соответствующей теоремы
для числовых многочленов. Пусть условию
(2) удовлетворяют также матрицы
и
,
причем степень
меньше степени
.
Тогда
.
Степень правой
части меньше
,
степень же левой части, если квадратная
скобка отлична от нуля, больше или равна
,
так как матрица
невырожденная. Отсюда следует
единственность матриц
и
.
Докажем существование
этих матриц. При
степень
будет строго
меньше
;
обозначим её
,
а старший коэффициент многочлена
через
.
Если всё ещё
,
то
.
Обозначим через
степень, а через
старший коэффициент матричного
многочлена
.
Положим затем
,
и т. д.
Так как степени
многочленов
,
,
убывают,
,
то за конечное число шагов дойдём до
многочлена
,
,
степень которого меньше . Складывая предыдущие равенства, получим:
,
где выражение в
скобках и будет матричным
многочленом
,
а
.
С другой стороны, рассматривая разность
,
видим, что её
степень также строго меньше
,
а
будет старшим членом матричного
многочлена
.
Откуда убеждаемся, что
матрицы
и
(а также
и
),
удовлетворяющие условиям теоремы,
действительно в общем случае будут
различными. □