§1.7. Эрмитовы (самосопряжённые) операторы.

Линейный оператор унитарного пространства называется эрмитовым (самосопряжённым), если

,

т. е. если линейный оператор совпадает со своим сопряжённым .

Если матрица в некотором ортонормированном базисе есть , то в матричной форме условие того, что оператор является эрмитовым, выглядит следующим образом: . Такие матрицы называются эрмитовыми.

В действительном случае имеем: , т. е. матрица совпадает со своей транспонированной. Такие матрицы называются симметрическими. Поэтому в евклидовых пространствах эрмитовы операторы называют симметрическими.

ТЕОРЕМА. (основная об эрмитовых операторах). Матрица эрмитова оператора в подходящем ортонормированном базисе является диагональной с действительными числами по главной диагонали.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как эрмитов оператор является частным случаем нормального оператора, то по основной теореме о нормальных операторах, существует ортонормированный базис, в котором он задаётся диагональной матрицей. Докажем, что собственные значения действительны. Пусть , тогда

.

В силу того, что , имеем , а это возможно лишь в случае . □

§1.8. Кососимметрические операторы.

Линейный оператор унитарного пространства называется кососимметрическим, если или

.

Если эрмитов оператор, то кососимметрический. Действительно, . Обратно, если кососимметрический оператор, то , т. е. эрмитов оператор.

Если матрица в некотором ортонормированном базисе есть , то в матричной форме условие того, что оператор является кососимметрическим, выглядит следующим образом: . Такие матрицы называются кососимметрическими.

ТЕОРЕМА. (основная об кососимметрических операторах). В подходящем ортонормированном базисе матрица кососимметрического оператора будет диагональной, причём каждый диагональный элемент либо , либо чисто мнимое число.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как частный случай нормального оператора, то по основной теореме о нормальных операторах, достаточно показать, что собственные значения чисто мнимые числа (или 0).

Пусть , тогда

,

т. е. , поэтому, если , то . Откуда . □

§1.9. Неотрицательные линейные операторы.

Линейный оператор унитарного (или евклидова) пространства называется неотрицательным, если

и .

Если равенство выполняется лишь при условии , то такой оператор называется положительно определённым.

Отметим свойства неотрицательных линейных операторов.

Свойство 1. Линейная комбинация неотрицательных линейных операторов с действительными неотрицательными коэффициентами неотрицательна.

Действительно, . □

Свойство 2. Для любого линейного оператора оператор неотрицателен.

Действительно, . □

ЛЕММА. Все собственные значения неотрицательного линейного оператора действительны и неотрицательны.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если , то , т. е. и . □

ТЕОРЕМА. (основная о неотрицательных операторах). Самосопряжённый линейный оператор тогда и только тогда является положительно определённым, когда все его собственные значения неотрицательны.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В одну сторону доказательство следует из леммы. Обратно, пусть базис, составленный из собственных векторов самосопряжённого оператора , а соответствующие действительные собственные значения. Если и , то