4. Задан закон распределения дискретной случайной величины х:

хi	-2	-1	0	1	2	3	4
pi	р	0,1	0,2	0,03	0,15	0,01	0,02

Н айти: а) р; б) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение; в) функцию распределения F(x) и построить ее график; г)закон распределения случайной величины у= 2-x .

5. Три стрелка произвели залп по цели. Вероятность поражения цели для 1 стрелка – 0,3, для 2 – 0.4, для 3 – 0,8. Какова вероятность того, что: а) только один поразит цель; б) хотя бы один поразит цель; в) только два поразят цель?

5. Случайная величина задана плотностью распределения f(x). Найти а) коэффициент а; б) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение; в) функцию распределения F(x).

0; при х<0

f(x)= аx; при 0x1

0; при x>1.

7. Заданы математическое ожидание m=40, среднее квадратическое отклонение =4 нормально распределенной случайной величины Х. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (36;43).

Вариант 11.

1. В партии из 24 изделий 6 изделий имеют скрытый дефект. Какова вероятность того, что из взятых наугад 3 изделий, 2 являются дефектными?

2. На предприятие поступили детали с трех заводов в количестве: 20 с первого завода, 10 – со второго, 20 – с третьего. Вероятность качественного изготовления изделия на 1 заводе 0,8, на 2 – 0,9, на 3 – 0.9. Какова вероятность того, что взятое изделие будет качественное?

3. В городе 3 базы. Вероятность того, что требуемого сорта товар есть на этих базах одинакова и равна 0,22. Составить закон распределения числа баз, на которых данный товар есть в данный момент. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

4. Найти вероятность того, что в партии из 800 изделий число изделий высшего сорта заключено от 600 до 700, если вероятность того, что отдельное изделие окажется высшего сорта, равна 0,62.

5. Для поражения цели достаточно поражения хотя бы одного снаряда. Произведено два залпа из двух орудий. Какова вероятность поражения цели, если вероятность попадания в цель при одном выстреле из первого, равна 0,3, из второго – 0,4?

6. Независимые дискретные случайные величины заданы следующими законами распределения:

х	1	4	5
р	0,1	0,4	0,5

х	2	3	4
р	0,2	0,1	0,7

Найти: 1) закон распределения случайной величины z=x+y; 2) M(z), D(z), (z).

7. Случайная величина задана плотностью распределения f(x). Найти а) функцию распределения F(х); б) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

0; при х0

f(x)= x/32 ; при 0<x8

0; при x>8.

Вариант 12.

1. В каждой из двух урн содержится 8 черных и 2 белых шара. Из второй урны наугад переложили в первую один шар. Найти вероятность того, что извлеченный из первой урны шар окажется черным.

2. Из трех орудий произведено залп по цели. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из первого орудия, равна 0,8, из второго – 0,6, из третьего – 0,9. Найти вероятность того, что: а) только один снаряд попадет в цель; б) только два попадут; в) все три попадут.

3. Вероятность появления события А в каждом из независимых испытаниях, равна 0,8. Сколько нужно произвести испытаний, чтобы с вероятностью 0,95 можно было ожидать отклонение относительной частоты появления события от его вероятности не более чем на 0,04.

4. Какова вероятность того, что в партии из 900 изделий число изделий первого сорта заключено: а) между 600 и 700; б) ровно 400. Вероятность появления изделия первого сорта в партии, равна 0,8.

5. Монету бросают 5 раз. Написать закон распределения числа выпадения «герба». Найти а) функцию распределения F(х); б) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

6. З аданы математическое ожидание m=7, среднее квадратическое отклонение =2 нормально распределенной случайной величины Х. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (6;10), вероятность того, что х-m < 4.

7. Случайная величина задана функцией распределения F(x). Найти а) плотность распределения f(х); б) математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение.

0; при x1

F(х)= (x²-x)/2; при 1<x2

1; при x>2.

Вариант 13.

1. Ученик сдает три экзамена: математика, физика, химия. Вероятность сдать на «5» математику, равна 0,71; физику – 0,6; химию – на 0,85. Найти вероятность того, что ученик сдаст на «5»: а) только один экзамен; б) только два экзамена; в) хотя бы один.

2. В ящике 30 шаров, из них 12 белых. Вынули 5 шаров. Найти вероятность того, что белых меньше 3.

3. Написать закон распределения случайной величины Х – число экзаменов сдавших на «5» ( из условия 1 задачи). Найти математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение.

4. Игральную кость подбрасывают 320 раз. Какова вероятность того, что цифра 5 при этом выпадет не менее 70 и не более 83 раз?

5. Случайная величина задана функцией распределения F(x). Найти а) а; б) плотность распределения f(х); в) математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение.

0; при x0

F(х)= аx²; при 0<x3

1; при x>3.

6. Пассажир может приобрести билет в одной из трех касс. Вероятность обращения в первую кассу, равна 0,3; во вторую – 0,6; в третью – 0,1. Вероятность, что к приходу в 1 кассе билеты будут распроданы, равна 0,21; во 2 – 0.7, в 3 – 0.12. Какова вероятность того, что пассажир приобрел билет в первой посетившей кассе?

6. Заданы математическое ожидание m=50, среднее квадратическое отклонение =6 нормально распределенной случайной величины Х. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (48;53).

Вариант 14.

1. В каждой из двух урн содержится 6 черных и 4 белых шара. Из первой урны наугад переложили в вторую один шар. Найти вероятность того, что извлеченный из второй урны шар окажется черным.

2. Три стрелка произвели залп по цели. Вероятность поражения цели для 1 стрелка – 0,7, для 2 – 0,8, для 3 – 0,9. Какова вероятность того, что: а) только один поразит цель; б) хотя бы один поразит цель; в) только два поразят цель?

3. Студент знает 40 из 50 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает 2 вопроса, содержащиеся в его билете.

4. Среднее число вызовов, поступающих на АТС за 1 минуту, равно 4. Какова вероятность того, что за 2 минуты поступит: а) 6 вызовов; б) не менее 3 вызовов?

5. В городе 4 базы. Вероятность того, что требуемого сорта товар отсутствует на этих базах одинакова и равна 0,2. Составить закон распределения числа баз, на которых данный товар отсутствует в данный момент. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

6. Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение. Математическое ожидание m=10, среднее квадратическое отклонение =1. Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (8;14).

7. Случайная величина задана функцией распределения F(x). Найти а) плотность распределения f(х); б) математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение.

0; при x0

F(х)= x²; при 0<x1

1; при x>1.

Вариант 15.

1. В лотерее разыгрывается крупные и мелкие выигрыши. На каждый лотерейный билет с вероятностью р₁=0,001 может выпасть крупный выигрыш, с вероятностью р₂=0,01 – мелкий. Куплено 1000 билетов. Какова вероятность того, что получено: а) 2 крупных выигрыша; б) мелких выигрышей от 5 до 15?

2. Бросают 2 игральных кубика. Найти вероятность указанных событий: а) сумма числа очков равна 7; б) сумма числа очков больше 2; в) сумма числа очков больше 4, но меньше 7.

3. Бросают 3 монеты. Написать закон распределения случайной величины Х - числа выпадения «орла». Найти а) функцию распределения F(х); б) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

4. На сборку поступили детали, изготовленные на двух автоматах, причем 60% всех деталей поступает с первого автомата, из которых 80% деталей 1 сорта, и 70% детали 1 сорта со второго автомата. Какова вероятность того, что взятая деталь окажется деталью 1 сорта?

5. Н епрерывная случайная величина имеет нормальное распределение. Математическое ожидание m=1, среднее квадратическое отклонение =2. Найти такое , что Р( х-m < )=0.95.

6. Случайная величина задана функцией распределения F(x). Найти а) коэффициент а; б) плотность распределения f(х); в) математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение.

0; при x0

F(х)= аx²; при 0<x5

1; при x>5.

7. В некотором городе среднее число ДТП за сутки, равно 5. Какова вероятность того, что за 2 дня произойдет 10 ДТП?

Вариант 16.

1. Стрелок попадает в цель из пистолета с вероятностью 0,8, а из винтовки – 0,98. Какова вероятность того, что, сделав по 100 выстрелов по цели из каждого оружия, стрелок: а) промахнется из винтовки не более 2 раз; б) промахнется из пистолета от 18 до 23 раз?

2. Найти вероятность того, что среди 6 карт, наугад взятых из колоды в 36 карт, ровно 3 окажутся фигуры черного цвета.

3. Три студента сдают экзамен. Вероятность сдать для первого, равна 0,7, для второго – 0,85, для третьего – 0,9. Найти вероятность того, что: а) экзамен сдаст только один студент; б) хотя бы один студент.

4. В городе имеется 3 базы. Вероятность того, что требуемого сорта товар есть на этих базах одинакова и равна 0,3. Составить закон распределения числа баз, на которых данный товар отсутствует в данный момент. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

5. Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение. Математическое ожидание m=3, среднее квадратическое отклонение =2. Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (3;5).

6. Случайная величина задана плотностью распределения f(x). Найти а) коэффициент а; б) функцию распределения F(х); в) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

0; при х<2

f(x)= а(x-2) ; при 2x3

0; при x>3.

7. В магазин поступила обувь от трех поставщиков, 30% всей обуви от первого поставщика, 40% - от второго, остальная от третьего. В среднам 30% обуви от первого поставщика имеет дефект, 10% - от второго, 25% от третьего. Найти вероятность того, что выбранная упаковка имеет дефект.

Вариант 17.

1. Длина детали представляет собой нормально распределенную случайную величину Х с математическим ожиданием m=150мм, средним квадратическим отклонением =0,5мм. Какую точность размера детали можно гарантировать с вероятностью 0,95?

2. Стрелок производит три выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле, равна 0,4. За каждое попадание стрелку засчитывается 5 очков. Построить ряд распределения числа выбитых очков. Найти математическое ожидание.

3. Случайная величина задана плотностью распределения f(x). Найти а) коэффициент а; б) функцию распределения F(х); в) вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (0;/4).

0; при х<-/2

f(x)= аcos x ; при -/2x/2

0; при x>/2.

4. Имеется три урны. В первой урне 2 белых и 1 черный шар, во второй - 3 белых и 1 черный, в третьей - 2 белых и 2 черный. Из наугад выбранной урны вынимают шар. Найти вероятность того, что он белый.

4. Среди семян ржи имеется 0,4% семян сорняков. Какова вероятность того, что при случайном отборе 5000 семян обнаружится 5 семян сорняков?

4. M(x)=5, M(y)=10, D(x)=2, D(y)=4. Найти 1) M(x-3у+5xy-3);

2)D(2х-4y+10).

7. В классе 15 мальчиков и 17 девочек. Надо выбрать 3 человека на собрание. Какова вероятность того, что выбраны: а) все мальчики; б) 2 мальчика и 1 девочка; в) хотя бы один мальчик?

Вариант 18.

1. В вычислительной лаборатории имеются 6 клавишных автоматов и 4 полуавтомата. Вероятность того, что до окончания расчета автомат не выйдет из строя равна 0,95, для полуавтомата – 0,8. студент производит расчет на наудачу выбранной машине. Какова вероятность того, что до окончания расчета автомат не выйдет из строя?

2. В зале 2 вентилятора, которые включаются независимо друг от друга. Вероятность того, что вентилятор включен в момент времени t, равна 0.8 для одного, 0,6 для второго. Какова вероятность того, что в момент времени t, включен: а) только один вентилятор; б) хотя бы один вентилятор?

3. Случайная величина задана функцией распределения F(x). Найти а) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение; б) плотность распределения f(x), в) построить графики f(x), F(x).

0; при x0

F(х)= 9x³+2х; при 0<x1/3

1; при x>1/3.

4. Вероятность сбоя в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0,01. поступило 500 вызовов. Определить вероятность 9 сбоев.

5. В урне 5 белых и 15 черных шаров. Вынули 2 шара. Составить закон распределения случайной величины Х – число вынутых белых шаров. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

6. З аданы математическое ожидание m=9, среднее квадратическое отклонение =5 нормально распределенной случайной величины Х. Найти: а) вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (5;14); б) вероятность того, что х-m < 3.

7. Вероятность появления события А в каждом испытании равна 0,3. Какова вероятность того, что при 200 испытаниях событие А появится не более 40 и не более 60 раз?

Вариант 19.

1. Имеется 7 радиоламп, среди которых 3 неисправные. Выбирается наугад 2 лампы. Какова вероятность того, что: а) обе исправные; б) хотя бы одна исправная?

2. В двух коробках находятся карандаши. 1/3 карандашей первой коробки и ¼ второй – характеризуются твердостью ТМ. Наугад выбирается коробка и из нее извлекается один карандаш. Он оказался твердостью ТМ. Какова вероятность того, что он из первой коробки?

3. Пусть вероятность поражения мишени, равна 0,8. Какова вероятность того, что при пяти выстрелах: а) не более 2 промахов; б) три попадания?

4. Случайная величина задана функцией распределения F(x). Найти коэффициент а и плотность распределения f(х).

0; при х0

F(x)= а x² ; при 0<x10

0; при x>10.

5. Вероятность сбоя в работе телефонной станции при каждом вызове, равна 0,001. Поступило 1000 вызовов. Определить вероятность 7 сбоев.

5. В ящике 10 белых и 20 черных шаров. Вынули 2 шара. Составить закон распределения случайной величины Х – число вынутых черных шаров. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение.

5. З аданы математическое ожидание m=3, среднее квадратическое отклонение =4 нормально распределенной случайной величины Х. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (1;4), вероятность того, что х-m < 2.