Исследование тенденций развития явлений

Изменение уровней рядов динамики связано с влиянием на изучаемое явление множества факторов, которые различны по силе воздействия, направлению и времени их действия. Постоянно действующие факторы оказывают на явление определяющее воздействие и формируют в рядах динамики основное направление развитие – тренд. Воздействие других факторов, как правило, периодическое и вызывает колебания уровней рядов динамики. Определенное воздействие на динамику развития явления могут оказывать отдельные случайные (спорадические) факторы.

Воздействие постоянных, периодических и разовых причин на уровни динамики развития явления вызывает необходимость изучения этих факторов для определения тренда, периодических колебаний и случайных отклонений.

Простейший способ обработки динамического ряда с целью выявления тенденции его развития заключается в укрупнении интервалов времени. Предположим, имеются данные о количестве гостей в отеле по месяцам в течение года:

Месяц	Количество гостей	Месяц	Количество гостей
Январь Февраль Март Апрель Май Июнь	102 108 103 106 104 112	Июль Август Сентябрь Октябрь Ноябрь Декабрь	120 120 115 109 105 108

Укрупним интервалы до трех месяцев, рассчитаем общее количество гостей и среднемесячное их количество по кварталам:

Квартал	Количество гостей	Среднемесячное количество гостей по кварталам
I II III IY	313 322 355 322	104 107 118 107

Укрупнив интервалы, устранили случайные колебания и проявили основную тенденцию сезонных колебаний в потоке гостей в течение года.

Сглаживание способом скользящей средней. Суть этого способа заключается в замене фактических уровней рядом подвижных (скользящих) средних, которые рассчитываются для последовательно подвижных интервалов и относятся к середине каждого из них. Сглаживание этим способом можно производить по любому числу членов ряда. Если осуществляется сглаживание ряда динамики с интервалом из 5 членов, то в этом случае необходимо последовательно суммировать по 5 членов и результаты делить на 5. Например, поток туристов в страну в течение 10 лет составил:

Годы	Поток туристов млн. человек	Скользящая сумма из 5 членов	Скользящая средняя
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	4,3 4,6 4,3 4,5 4,3 5,2 5,3 5,7 6,0 6,0	- - 22,0 22,9 23,6 25,0 26,5 28,0 - -	- - 4,40 4,58 4,72 5,00 5,30 5,64 - -

Недостатком сглаживания ряда способом скользящей средней является то, что сглаженный ряд укорачивается по сравнению с фактическим на члена с одного и другого конца (n- число членов, из которых рассчитываются скользящие средние). В нашем случае это по с каждой стороны.

Выравнивание по аналитическим формулам. Этот способ обработки динамических рядов является более совершенным по сравнению с вышеприведенными способами. Способ предполагает подбор наиболее подходящей функции, для отражения тенденции развития изучаемого явления. Задача выравнивания здесь сводится к определению вида функции, отысканию ее параметров по эмпирическим данным и расчету теоретических уровней по найденной формуле.

К наиболее простым формулам, отражающим тенденции развития относятся:

1) прямая вида , где -теоретический уровень, t – время, a и b – параметры прямой.

2) парабола второго порядка

3) показательная функция

4) гипербола .

Выравнивание по прямой. Как правило, используется в тех случаях, когда абсолютные приросты относительно постоянны, т.е. когда уровни изменяются приблизительно в рамках арифметической прогрессии.

Параметры a и b искомой прямой находятся решением системы нормальных уравнений:

,

где y- уровни эмпирического ряда,n –количество уровней ряда, t- время

Эту систему можно упростить, если отсчет моментов времени ведется от середины ряда. При нечетном числе уровней ряда средняя точка принимается за 0, тогда предшествующие периоды обозначаются: -1,-2,-3 и т.д., а последующие за средним: +1,+2,+3 и т.д. В сумме t должно сводиться к 0.

При четном числе уровней ряда два серединных момента времени принимаются за -1 и +1 и все остальные соответственно обозначаются через два интервала:-5, -3, -1, +1, +3, +5, В этом случае и система уравнений принимает вид:

b , тогда , .

Рассмотрим условный пример с потоками туристов в регион в течение 5 лет:

Годы	Поток туристов, тыс. чел. (y)	Условное обозначение времени (t)	t^2	yt
2000 2001 2002 2003 2004	110 115 120 125 131	-2 -1 0 +1 2	4 1 0 1 4	-220 -115 0 125 262	109,8 115,0 120,2 125,4 130,6
n=5				52	601

Определяем параметры: , b=

Тогда уравнение теоретической прямой будет иметь вид: . Подставляя последовательно значения t=-2, -1, 0, 1, 2 находим выравненные уровни динамического ряда.

Выравнивание по параболе 2-го порядка. Выравнивание по параболе 2-го порядка сводится к нахождению параметров a,b,c из системы нормальных уравнений:

.

При система уравнений имеет вид:

.

Произведем выравнивание динамического ряда объема услуг фирмы за 6 лет параболой 2-го порядка:

Годы	Объем услуг, млн. руб. (у)	t	t^2	t^4	ty	t^2y	уt= 53,73+6,22t+0,28t^2
2000 2001 2002 2003 2004 2005	29,9 37,3 47,2 60,9 75,2 91,5	-5 -3 -1 1 3 5	25 9 1 1 9 25	625 81 1 1 81 625	-149,5 -111,9 -47,2 60,9 225,6 457,5	747,5 335,7 47,2 60,9 676,8 2287,5	29,6 37,6 47,8 60,2 74,9 91,9
Итого n=6	342,0	0	70	1414	435,4	4155,6	342,0

Полученные суммы по столбцам подставим в систему уравнений:

6 а₀ + 70 а₂ = 342

70 а₁ = 435,4

70 а₀ +1414 а₂ = 4155,6

Решив уравнение, находим: а₀ = 53,73; а₁ = 6,22; а₂ = 0,28.

Отсюда искомое уравнение параболы 2-го порядка у_t= 53,73+6,22t+0,28t² . На основе этого уравнения рассчитаем выравненные уровни, подставив соответствующие значения t и занесем их в последнюю графу таблицы.

Выравнивание по показательной функции. В основном производится, когда динамический ряд отражает развитие процесса в геометрической прогрессии. Уравнение показательной функции . Логарифм показательной функции представляет собой уравнение прямой Заменив уровни ряда их логарифмами, параметры a и b можно определить через их логарифмы. Система уравнений подобна системе уравнений при выравнивании по прямой.

Е сли , то система сводится к следующему виду:

Отсюда и .

Произведем выравнивание динамического ряда продаж турфирмой туристских путевок в течение 7 лет:

Годы	Количество проданных путевок, тыс. шт.(у)	lg y	Условное обозначение времени t	t^2	t lgy	lg yt	Выравненные уровни yt
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006	108 111 115 118 121 124 128	2,0334 2,0453 2,0607 2,0719 2,0828 2,0934 2,1072	-3 -2 -1 0 1 2 3	9 4 1 0 1 4 9	-6,1002 -4,0906 -2,0607 0 2,0828 4,1868 6,3216	2,0344 2,0465 2,0586 2,0707 2,0828 2,0949 2,1070	108,2 111,3 114,5 117,7 121.0 124,5 127,9
n=7	825	14,4947	0	28	0,3397	14,4949	825,1

lg a=

lg b= ,

следовательно, или .

Подставляем в формулу значения t , найдем логарифмы , а затем по таблицам - .

Для 2000 г. lgy=2,0707+0,0121(-3)=2,0344 или .

Выравненные уровни близки к эмпирическим уровням, значит показательная функция подходит для отражения тренда.