Блок 15. Индексы средних величин

Индексы переменного и постоянного состава, индекс структуры. На практике часто возникает необходимость измерении динамики средних величин и определении факторов, влияющих на саму динамику явления. Эти задачи решаются с помощью индексов переменного и постоянного (фиксированного) состава и индексов структурных сдвигов.

Индекс переменного состава - это соотношение средних величин признаков явления в отчетном и базисном периодах . В общем виде индекс переменного состава имеет следующий вид:

: .

Этот индекс называется индексом переменного состава, потому что средние величины меняются не только за счет индексируемого показателя, но и за счет изменения удельного веса (структуры) их в совокупности.

Индексы постоянного (фиксированного) состава отражают действие индексируемого фактора и показывают его влияние на изменение изучаемого признака. Строится этот индекс как отношение средних взвешенных величин при одной фиксированной структуре, что позволяет исключить влияние изменения структуры для двух периодов.

; В агрегатной форме этот индекс может быть представлен как:

Индексы структурных сдвигов определяют влияние изменения структуры изучаемой совокупности на динамику среднего уровня признака:

или в агрегатной форме .

Все эти индексы связаны между собой в следующую систему: или

Если в качестве весов используются удельные веса единиц в общей совокупности, то эти доли можно представить как:

Тогда, система индексов может быть представлена следующим образом:

С помощью этой системы индексов можно отразить абсолютное изменение среднего уровня признака за счет отдельных факторов.

Общий абсолютный (уменьшение) прирост среднего уровня признака находится как разность числителя и знаменателя индекса переменного состава:

Абсолютный прирост (уменьшение) среднего уровня признака за счет изменения значений признака у отдельных единиц совокупности определяется как разность числителя и знаменателя индекса постоянного (фиксированного) состава:

Абсолютный прирост (уменьшение) среднего уровня признака за счет структурных изменений рассчитывается как разница числителя и знаменателя индекса структурных сдвигов:

тогда в общем виде абсолютные приросты выглядят следующим образом:

Рассмотрим на примере возможности индексного анализа. Два отделения одной фирмы, действующие на рынке туриндустрии, с разным числом работников предоставляли услуги в отчетном и базисном году. Проанализируем, как повлияла производительность труда работников отделений на объем предоставляемых услуг:

Отделения	Объем услуг в базисном году (млн. руб.) Q0	Объем услуг в отчетном году (млн. руб.) Q1	Численность работников в базисном году f0	Численность работников в отчетном году f1
1 2	45 90	60 85	30 70	32 65
	135	145	100	97

Сначала определим производительность труда ( ) работников отделений в базисном и отчетном периодах:

1-е отделение

.

2-е отделение

Затем найдем среднюю производительность по двум отделениям в базисном и отчетном периоде:

Определим индекс переменного и постоянного (фиксированного) состава и индекс структурных сдвигов:

Проверим правильность соотношения 0,97=1,071:1,104.

Теперь можно определить абсолютный общий и частный прирост (уменьшение) признаков как разница числителей и знаменателей индексов:

млн. рублей; млн. рублей;

млн. рублей.

_{9,53=13,58+(-4,05).}

Итак, по работе двух отделений фирмы в отчетном и базисном году можно сделать следующий комментарий. Первое отделение за период увеличило объем услуг и численность работников. Второе отделение снизило объем услуг и численность своих работников. Производительность труда в среднем на одного работника в первом отделении увеличилась на 25%, а во втором – на 1,6%. В среднем по двум отделениям производительность труда увеличилась на 10,4%.

В целом по фирме прирост производительности труда одного работника в абсолютном выражении составил 0,1 млн. рублей, в том числе за счет роста производительности труда в отделениях на 0,14 млн. рублей и снизился на 0,04 млн. рублей за счет структурных изменений.

Модуль 7. Статистический анализ связей явлений

Блок 16. Виды связей явлений

Все явления объективного мира находятся в причинно-следственных связях и взаимно обусловлены. Познание социально-экономических явлений означает познание их во всех или определяющих связях и взаимозависимостях. Одной из основных задач статистики является установление причинно-следственных связей, действующих в общественных явлениях. Особенность связей в социально-экономических явлениях состоит в том, что их закономерный характер проявляется лишь в массе явлений.

Известно, что , т.е. результативный признак у является функцией от признака-фактора х и для того, чтобы воздействовать на у надо изменить х. Связи между признаками явлений и самими явлениями могут быть функциональными и корреляционными.

Функциональные – это такие связи, в которых каждому значению одного признака х на единицу соответствует изменение другого признака у на строго определенную величину. Например, увеличение радиуса окружности на 1 см. приводит всегда к увеличению длины окружности на 6,28 см., т. к. она определяется по формуле

Корреляционные – это такие связи, когда при одном и том же значении признака х имеют место различные значения признака у, при этом между ними существует соотношение, когда определенному изменению признака х соответствуют среднее изменение признака у.

По направлению принято различать две формы связи: прямую и обратную. Прямая связь, при которой с ростом признака-фактора, возрастают значения результативного признака. В том случае, когда с увеличением признака-фактора, значения результативного уменьшаются имеет место обратная связь.

По форме выражения различают прямолинейные и криволинейные связи. Прямолинейной называется связь, которая может быть выражена уравнением прямой. Связь, которая может быть выражена уравнением какой-либо кривой линией, называется криволинейной.

В ходе статистического анализа возникает необходимость определения степени тесноты связи результативного фактора от вариации признака-фактора. Зная тесноту связи между отдельными факторами можно отобрать среди прочих наиболее важные и существенные факторы и осечь те, которые несущественно влияют на результативный признак фактор.

Для оценки тесноты связи между факторами существуют различные показатели. Простейшим из них является коэффициент корреляции знаков – коэффициент Г. Фетнера. Расчет этого показателя осуществляется вычислением средних значений обоих признаков, а затем определяются знаки отклонения от средней для всех значений взаимосвязанных признаков. С- число совпадений знаков отклонений индивидуальных значений от средней, а Н – число несовпадений знаков. Коэффициент принимает значения от -1 до +1.Если коэффициент имеет знак плюс, то имеется прямая зависимость, если минус, то связь обратная. Чем ближе коэффициент к единице, тем теснее связь. Рассмотрим на примере расчет коэффициента Фетнера:

Срок службы основных фондов (лет) х	Затраты на ремонт основных фондов (млн. руб.) у	Знак отклонения от средней для х	Знак отклонения от средней для у	Совпадение знаков (С) и несовпадение знаков (Н)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	0,5 0,7 0,7 1,1 0,8 1.0 0,6 1,2 1,4 1,5	- - - - - + + + + +	- - - + - + - + + +	С С С Н С С Н С С С
55	8,9

Средний срок службы основных фондов составит , а средние затраты на ремонт млн. рублей. В последней графе таблицы указаны совпадения и несовпадения знаков отклонений от средних. Подставим их в формулу Фетнера:

, Полученная величина свидетельствует о том, что между сроком службы основных фондов и затратами на их ремонт существует значительная прямая зависимость.

Еще один метод нахождения связи между факторами – методом корреляции рангов и, в частности, коэффициент корреляции рангов К. Спирмена . В основе этого метода лежит рассмотрение разности рангов значений признаков. Формула этого коэффициента:

где n- число сопоставляемых пар, d- разность между рангами (порядковыми номерами) в двух рядах. Также как и коэффициент Фетнера этот коэффициент может находится в пределах от -1 до +1.

На примере часовой заработной платы сотрудников фирмы с различным стажем работы рассмотрим применение коэффициента корреляции рангов Спирмена.

При наличии одинаковых вариантов в рядах распределения ранг для расчета берется как их среднее арифметическое:

Стаж работы х (лет)	Ранг по порядку	Часовая заработная плата у (руб.)	Ранг по порядку	Ранг х для расчета	Ранг у для расчета	d	d^2
2 4 4 5 6 8 10 11 12 14	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	30 40 35 40 38 48 64 65 62 80	1 4 2 5 3 6 8 9 7 10	1 2,5 2,5 4 5 6 7 8 9 10	1 4,5 2 4,5 3 6 8 9 7 10	0 -2 0,5 -0,5 2 0 -1 -1 2 0	0 4 0,25 0,25 4 0 1 1 4 0

Между стажем и часовой заработной платой установлена тесная корреляционная зависимость.

Преимущество коэффициента рангов Спирмена заключается в том, что он может применяться при любой форме распределения и для любых признаков.