1.4.3. Понятие функции. Предел функции. Непрерывность

1.4.3.1. Определение функции

Определение 1.

Пусть даны два непустых подмножества {x}и {y}множества R.

Если каждому элементу x из {x} ставится в соответствие один элемент y из {y}, то y называется функцией f (отображением) аргумента x. Это записывается в виде:

.

Другими словами, с помощью функции y=f(x) подмножество {x} отображается в подмножестве {y}, поэтому допустима запись

Подмножество {x} или D(f) называется областью определения функции y, подмножество {y} или E(f) - множеством ее значений. Аргумент x часто называют независимой переменной, функцию y -зависимой переменной, а соответствие между ними- функциональной зависимостью.

Частным значением функции y=f(x) при x=a, a{x} называется то значение y , которое соответствует заданному значению x. Оно обозначается через f(a), или y_x=a .

Функции могут быть заданы аналитически, графически и с помощью таблиц.

1.4.3.2. Способы задания функций

Функция задана аналитически , если функциональная зависимость выражена в виде формулы, которая указывает совокупность тех математических операций, которые должны быть выполнены, чтобы по данному значению аргумента найти соответствующее значение функции.

Пример 1. Функция Дирихле

.

Пример 2. (рис.1)

Рис.1

Определение 2. Графиком функции y=f(x), xx называется геометрическое место точек на плоскости с координатами (x,f(x)), где xx.

Графический способ задания функции, помимо геометрического изображения функции, заданной уравнением, удобен тогда, когда функцию трудно задать аналитически. Задать функцию графически - это значит задать ее график.

При табличном способе задания функции рядом с числовым значением аргумента выписывается соответствующее значение функции. Недостатком табличного способа задания функции является то, что в таблице могут быть указаны не все, а лишь отдельные значения аргумента и функции. Особенности изменения функции при этом могут быть искажены.

1.4.3.3. Монотонные функции

Пусть функция y=f(x) определена на множестве {x} и точки

x₁ ,x₂{x}любые точки, связанные соотношением x₁< x₂ .

Тогда

1.4.3.4. Сложная функция

Функции, полученные в результате суперпозиции (или наложения) двух или нескольких функций, называются сложными.

Если функция y зависит от переменной x, т.е. y=f(x), xx; a x, в свою очередь, является какой-либо функцией от независимой переменной t, т.е. x=(t), t{t}, то переменная y называется функцией от функции (или сложной функцией от t) и записывается в виде

y=f(x), x=(t); или y=f((t)).

Область определения сложной функции - это множество тех значений t из {t}, для которых соответствующие значения x принадлежат области определения {x} функции y=f(x).

1.4.3.5. Обратная функция

Пусть задана некоторая функция y=f(x), т.е. некоторое соответствие между множествами D(f) и E(f). Предположим, для определенности, что D(f)=[a,b], a E(f)=[]. Пусть далее каждому y[] соответствует одно и только одно значение x[a,b], для которого f(x)=y (рис.2). Тогда на сегменте [] можно определить функцию x=f^-1 (y), ставя в соответствие каждому y из [] то значение x из [a,b], для которого f(x)=y. Функция x=f^-1 (y) называется обратной для функции y=f(x).

Рис.2.

Замечание 1. Вместо сегментов [a,b] и [] можно рассматривать интервалы (a,b) и (). Можно допускать, что один или оба интервала (a,b) и () превращаются в бесконечную прямую или в открытую полупрямую.

Замечание 2. Если x=f^-1 (y) - обратная функция для y=f(x), то очевидно, функция y=f(x) является обратной для функции x=f^-1 (y). Поэтому функции y=f(x) и x=f^-1 (y) называются взаимно обратными.

Одна и та же кривая y=f(x) представляет собой график функции y=f(x) и график обратной функции x=f^-1 (y) (если она существует), но в последнем случае значения аргумента рассматриваются на оси Oy, а значения функции - на оси Ox.

Если придерживаться стандартных обозначений и независимую переменную обозначать через x, а функцию через y, то функция, обратная по отношению к y=f(x), запишется в виде y=f^-1 (x). В этом случае график функции y=f^-1 (x) окажется симметричным графику функции y=f(x) относительно прямой x=y - биссектрисы Iи III координатных углов.

Для взаимно обратных функций имеют место следующие соотношения: D(f)=E(f^-1), E(f)=D(f^-1), т.е. область определения данной функции совпадает с множеством значений обратной функции и наоборот.