1.12.5. Однородные уравнения

Функция f(x,y) называется однородной степени m, если для любых x, y и t0 выполняется равенство

f(tx,ty)=t^mf(x,y).

Если функции M(x,y) и N(x,y) однородные одной и той же степени m, то дифференциальное уравнение M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 называется однородным. Оно приводится к виду и решается подстановкой или y=ux, . Тогда или . Следовательно, или , где с0 - произвольная постоянная.

Пример. (x²+y²)dx+xydy=0. Данное уравнение является однородным, так как функции M(x,y)= x²+y², N(x,y)=xy однородные степени m=2. Сделаем замену y=ux, dy=udx+xdu. Тогда уравнение перепишется так: (x²+u²x²)dx+x²u(udx+xdu)=0 или (1+2u²)dx+uxdu=0.

Разделяя переменные, получим

.

Так как у нас , то .

Рассмотрим более общее уравнение, чем , а именно

. (2.5)

Его можно решить подстановкой. Тогда

,

,

,

где с0 - произвольная постоянная.

Пример. y'=Axⁿ+By^m (2.6)

Это уравнение есть частный случай (2.5), если . (2.7)

Уравнение (2.6) при n=-2 и m=2 (условие (2.7) выполнено) имеет вид

,

и его решение может быть найдено по формуле решения уравнения (2.5), где f(u)=A+Bu², n=-2+1=-1.

Полученное уравнение есть частный случай уравнения Рикатти

y'= By²+R(x),

которое интегрируется в квадратурах только в исключительных случаях. Мы доказали, что при R(x)=Ax^-2 уравнение Рикатти решается в квадратурах. Отметим, что при R(x)=const уравнение Рикатти является уравнением с разделяющимися переменными. Если R(x)=Ax^ и (k - целое), то подстановка

приводит уравнение Рикатти к виду

.

Последовательно применяя эту подстановку, можно исходное уравнение свести к случаю ₀=0 (R(x)=const).

Если же n1, то подстановка приводит уравнение к виду

.

Применяя эту подстановку необходимое число раз, мы сведем уравнение Рикатти к случаю ₀=0. Во всех других случаях уравнение Рикатти не решается в квадратурах.

Пример. Решить уравнение xydy-(x⁴+y²)dx=0. Имеем

Это уравнение есть частный случай уравнения (2.5) при n=2, f(u)=(1+u²)/u.

1.12.6. Уравнения, приводимые к уравнениям с однородной функцией

Общий вид таких уравнений следующий

. (3.1)

Рассмотрим несколько случаев

1. Если с=с₁=0, то имеем уравнение с однородной функцией и его можно решить методом, изложенным ранее. Если , то уравнение преобразуется в уравнение , которое является уравнением с разделяющимися переменными.

2. Пусть с, с₁0. Положим

x=x₁+h; y=y₁+k, (3.2)

где h и k - постоянные. Учитывая, что dx=dx₁ и dy=dy₁; , можно записать

Подберем h и k так, чтобы (3.3)

Тогда уравнение (3.1) переходит в уравнение

,

которое решается подстановкой y₁=x₁u.

3. Изложенный метод не подходит, если определитель системы (3.3)

=0.

Рассмотрим этот случай. Обозначив уравнение (3.1) запишется в виде

.

Это уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой z=ax+by.

Приведенные операции геометрически означают следующее: числитель и знаменатель в функции можно рассматривать как левые части уравнений прямых в плоскости, которые либо пересекаются (определитель не равен нулю: 0), либо параллельны (определитель равен нулю). Подстановка (2.3) геометрически означает параллельный перенос системы координат, что позволяет перенести начало координат в точку пересечения прямых.

Пример. (2x-y+3)dx+(x+y-1)dy=0

Запишем уравнение в форме (3.1)

. (3.4)

Здесь а=-2; b=1; с=-3; а₁=1; b₁=1; с₁=-1. Определитель =-30. Следовательно, уравнение (3.4) относится к случаю 2. Введем новые переменные x₁ и y₁ так, что x=x₁+h; y=y₁+k. Теперь запишем уравнение (3.4) в виде

. (3.5)

Система (3.3) для уравнения (3.5) следующая: . Отсюда . Уравнение (3.5) можно записать в виде . (3.6)

Положим y₁=ux₁, тогда . Подставим полученные результаты в (3.6):

.

Разделим переменные ; . Найдем

+ С.

Следовательно, но .

После объединения первого и последнего логарифмов получим общий интеграл уравнения (3.4)

.