1.12.9. Уравнение Бернулли

Уравнение Бернулли имеет вид y'+p(x)y=yⁿf(x), где n - любое вещественное число.

Если n равно нулю или единице, то мы получим линейное дифференциальное уравнение. Если n0, 1, то замена z=y^1-n приводит нас снова к линейному уравнению относительно функции z(x).

Уравнение Бернулли можно сразу решать методом Бернулли, полагая y=u(x)v(x). Следует отметить, что при n>0 функция y(x)0 является решением уравнения Бернулли.

Пример. Решить уравнение .

Сделаем замену z=y^1-4=y^-3, z'=-3y^-4y'. Поделим исходное уравнение на y⁴: . Подставим в него значения для z и z', сделав необходимые преобразования, получим уравнение , которое является линейным.

Приведем также решение непосредственно методом Бернулли. Полагая y=uv, получим

. Подставив v в (*) получим

и, окончательно, .

1.12.10. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка

1⁰ . Уравнение вида y ⁽ⁿ⁾ = f(x) решается последовательным n-кратным интегрированием правой части. При каждом интегрировании получается одно произвольное постоянное, а в окончательном результате – n произвольных постоянных.

Пример. Решить уравнения:

1. .

Последовательно интегрируя, получим:

2)

2⁰. Если в уравнение не входит искомая функция y, то есть он имеет вид то порядок уравнения можно понизить, взяв за новую неизвестную функцию низшую из производных, входящую в уравнение, т.е. сделав замену

Пример 1. Уравнение вида не содержит явным образом искомой функции y.

Решение. Обозначим производную через Р, т.е. положим . Тогда

Подставляя эти выражения производных в исходное уравнение, получим уравнение первого порядка

относительно неизвестной функции Р от х. Проинтегрировав это уравнение, найдем его общее решение:

а затем из соотношения получим общий интеграл исходного уравнения:

Пример 2. Решить уравнение

Положим , тогда и мы получаем дифференциальное уравнение первого порядка относительно вспомогательной функции Р от х:

Поделив уравнение на х³ , получим

-

линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Представим функцию Р в виде , тогда

Подставляя их в уравнение, получим

Далее

отсюда или

.

3⁰. Если в уравнение не входит независимая переменная х, т.е. уравнение имеет вид то порядок уравнения можно понизить, взяв за новое независимое переменное y, а за неизвестную функцию

Пример. Решить уравнение

В уравнение не входит х. Полагаем Тогда

Подставляя в уравнение, получим:

или ,

откуда

или

1.12.11. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Определение. Дифференциальное уравнение n-го порядка называется линейным, если оно первой степени относительно искомой функции у и ее производных т.е. имеет вид

где и – заданные функции от х или постоянные, причем а₀0 для всех значений х из той области, в которой мы рассматриваем уравнение. В дальнейшем мы будем предполагать, что функции – постоянные, а непрерывна на всех значениях х, причем коэффициент а₀=1 (если он не равен 1, мы можем все члены уравнения поделить на него). Функция , стоящая в правой части уравнения, называется правой частью уравнения.

Если не тождественна нулю, то уравнение называется неоднородным или уравнением с правой частью. Если же 0, то уравнение имеет вид

и называется линейным однородным или уравнением без правой части (левая часть этого уравнения является однородной функцией первой степени относительно ).

Установим некоторые основные свойства линейных однородных уравнений.

Рассмотрим линейное однородное уравнение n-го порядка

Выражение

называется линейным дифференциальным оператором от функции у.

С помощью линейного дифференциального оператора дифференциальное уравнение запишется так

L[y]=0.

Рассмотрим свойства которыми обладает линейный дифференциальный оператор

1. L[cy]=cL[y]

это справедливо для любой постоянной, в том числе и комплексной;

2. L[y₁+y₂]=L[y₁]+L[y₂].

Теорема 1. Если у₁(х) есть решение дифференциального уравнения L[y]=0, то с₁у₁(х) тоже решение уравнения L[y]=0, где с₁ – произвольная постоянная.

Доказательство.

но L[y₁]=0, тогда с₁ L[y₁]=0 и L[с₁y₁]=0.

Теорема 2. Если у₁ и у₂ – частные решения уравнения L[y]=0, то с₁у₁+с₂у₂ – также решения этого уравнения, где с₁, с₂ – произвольные постоянные.

Доказательство. Подставив с₁у₁+с₂у_2, получим

то есть с₁у₁+с₂у₂ также является решением.

Теорема 3. Если функции у₁(х); у₂(х);  ; у_n(х) – частные решения уравнения L[y]=0, то их линейная комбинация, т.е. у=с₁у₁+с₂у₂++c_ny_n, также является решением.

Какие же условия следует наложить на функции у₁(х), у₂(х),  , у_n(х), чтобы их линейная комбинация с произвольными постоянными являлась общим решением уравнения L[y]=0. Для этого введем понятие линейно независимой системы функций.

Система функций у₁(х); у₂(х);  ; у_n(х), определенных на множестве Х, называется линейно зависимой, если существуют такие, не все равные нулю, действительные числа ₁, ₂,  , _n, что линейная комбинация для всех х из Х.

Функции у₁(х), у₂(х),  , у_n(х) называются линейно независимыми на Х, если из тождества

следует, что

₁=₂==_n=0.

Назовем определителем Вронского для системы функций у₁(х), у₂(х),  , у_n(х), определенных на Х, следующий функциональный определитель n-го порядка:

.

Мы предполагаем, что функции у₁, у₂,  , у_n на множестве Х непрерывны и имеют все производные до порядка n-1 включительно. Это функциональный определитель.

Теорема. Если функции у₁, у₂,  , у_n линейно зависимы на множестве Х, то определитель Вронского равен нулю.

Теорема. Если решения у₁(х), у₂(х),  , у_n(х) линейно однородного уравнения L[y]=0 являются линейно независимыми на множестве Х, где коэффициенты уравнения непрерывны, то определитель Вронского на этом множестве Х нигде не обращается в нуль.

Примем эти две теоремы без доказательств, также без доказательства примем следующие утверждения.

1. Если у₁, у₂,  , у_n – система из n линейно независимых частных решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка, то есть общее решение этого уравнения.

2. Максимальное число линейно независимых частных решений линейного однородного уравнения L[y]=0 с непрерывными на множестве Х коэффициентами равно порядку уравнения.

3. Независимо от начальных условий все другие решения уравнения L[y]=0 являются линейной комбинацией линейно независимых частных решений.

Таким образом, для решения линейного однородного уравнения n-го порядка необходимо найти n линейно независимых частных решений. Общее решение уравнения получится как линейная комбинация этих частных решений.

Назовем фундаментальной системой решений линейного дифференциального уравнения L[y]=0 любые n линейно независимых частных решений.

Будем искать частные решения уравнения L[y]=0 или в виде , где  – неизвестно.

Подставляя в уравнение получим:

.

Учитывая, что , при делении уравнения на получим, что

.

Полученное уравнение называется характеристическим. Среди корней характеристического уравнения ₁, ₂, , _n могут встретиться следующие:

1. Все корни характеристического уравнения ₁, ₂, , _n действительные и различные. Тогда функциональную систему образуют функции линейно независимые на (-; ):

, ,  , , линейная независимость этой системы следует из неравенства нулю определителя Вронского

,

поэтому общее решение будет:

.

Пример. Решить уравнение .

Составим характеристическое уравнение .

₁=1 ₂=6 у₁=е^х у₂=е^6х.

Общее решение будет .

2. Среди корней характеристического уравнения, кроме действительных, есть и комплексно–сопряженные, но нет кратных.

Пусть ₁, ₂, , _m – действительные корни, а ; (2l=m+1, m+2, , n), где i²=-1.

Тогда действительным корням отвечают частные решения вида

а паре комплексно-сопряженных корней

или

.

По формуле Эйлера ,

имеем

.

Докажем следующую лемму.

Лемма. Если функция y = v(x) + iu(x) является решением линейного дифференциального уравнения n-го порядка, то v(x) и u(x), также являются решениями уравнения.

Доказательство. По условию дано:

L[y]=0; L[v(x)] + iL[u(x)]=0.

Это равенство возможно, если L[v]=0,L[u]=0. На основании этой леммы примем за частные решения уравнения:

.

Система частных решений:

как легко доказать, образует линейно независимую систему функций. Общее решение в этом случае будет представлять линейную комбинацию указанных функций.

3. Среди корней характеристического уравнения есть кратные корни.

Пусть _i – действительный корень кратности m, тогда этому корню отвечает m частных решений вида

.

Если среди корней характеристического уравнения имеются комплексные корни, тогда каждой паре комплексно-сопряженных корней

кратности m соответствует 2m частных решений:

Можно доказать, что найденные таким образом частные решения у₁, у₂, , у_n составляют систему линейно независимых функций, то есть фундаментальную систему. Общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами запишется так:

.

Примеры.

1. Найти общее решение уравнения у ^IV- у = 0.

Решение.

Составляем характеристическое уравнение

 ⁴-1=0.

Корни характеристического уравнения будут:

₁=1, ₂=-1, ₃=i, ₄=-i.

Частные решения:

у₁=е^х, у₂=е^-х, у₃=соsx, y₄=sinx.

Общее решение:

y_oo=c₁e^x+c₂e^-x+c₃cosx+c₄sinx,

где с₁, с₂, с₃, с₄ – произвольные постоянные.

2. Найти общее решение уравнения .

Решение.

Составляем характеристическое уравнение:

³-3²+3-1=0 или (-1)³=0.

Корни характеристического уравнения:

₁=₂=₃=1.

Частные решения:

у₁=е^х, у₂=хе^х, у₃=х²е^х.

Составляют фундаментальную систему, и следовательно, общее решение будет:

или

.