1. Аналитическая часть

1. Фракталы

Термин «фрактал» (от лат. frangere – ломать и fractus – дробный) был введен в 1975 г. Бенуа Б. Мандельбротом, фундаментальные междисциплинарные труды которого положили основу фрактального описания природы.

Фракталы можно разделить на детерминированные (созданные с помощью детерминированных алгоритмов) и случайные (созданные с помощью комбинации порождающих алгоритмов со случайно распределенными параметрами) [6].

Первоначальное пробное и формальное определение Мандельбротом фракталов [23, 24] относит к ним множества, размерность Хаусдорфа–Безиковича D которых строго больше их топологической размерности. В дальнейшем Мандельброт дал второе, менее общее определение фракталов как структур, состоящих из частей, которые в каком-то смысле подобны целому. Строгого и полного определения фракталов пока не существует.

2. Фрактальная размерность

   1. Фрактальная размерность Минковского

Пусть имеется множество . Аппроксимируем A объединением шаров и просуммируем их объем.

Пусть ­– минимальное число шаров радиуса , необходимых для покрытия компактного множества A. Тогда d-мера A, обозначаемая , удовлетворяет (приближенно):

.

Полагая, что , для некоторого , имеем

.

Логарифмируя левую и правую части, получим (приближенно):

,

то есть

.

Так как при , то размерность Минковского множества A должна удовлетворять:

. (1.2.1.1)

Если предел существует, то выражение (1.2.1.1) определяет размерность Минковского множества A. Иногда также используют термин дробная размерность.

2. Фрактальная размерность по Хаусдорфу

Определение меры Хаусдорфа опирается на математическую абстракцию практического способа измерения длин, площадей и объемов, когда измеряемый объект покрывается эталонами с определенными мерами. Для обычных объектов оценки мер сходятся при предельном переходе к ассимптотике, являющейся истинной мерой объекта.

Для некоторых объектов (множеств) такие оценки не сходятся либо дают нулевой результат. По Хаусдорфу обобщение меры заключается в том, что эталоны могут быть любыми множествами из некоторого класса, а приписываемая им мера определяется любой неотрицательной функцией множеств из указанного класса. В частности, пусть , где – диаметр множества . В этом случае мера Хаусдорфа называется α-мерой.

Дадим точное определение размерности Хаусдорфа–Безиковича. Пусть совокупность множеств с диаметром , где ε – действительное число, образует счетное покрытие множества X. Тогда для каждого определим .

Положим . Тогда по определению размерности Хаусдорфа–Безиковича, D – это точная верхняя грань множества таких действительных чисел d, для которых . Важно подчеркнуть, что D – не обязательно целое число и D не является топологическим инвариантом, так как она зависит от метрики, введенной на данном множестве. Однако нижняя грань для всех D, соответствующих всем метрикам на данном множестве, есть его топологическая размерность: .

3. Фрактальные кластеры

Предметом дальнейшего анализа является один из физических объектов с фрактальной структурой, получивший название «фрактальный агрегат» или «фрактальный кластер». Такая система имеет рыхлую и в некоторых случаях ветвистую структуру и образуется в большом наборе физических процессов, сопровождающихся ассоциацией частиц близких размеров. Эти процессы имеют место, в частности, при релаксации паров металлов, при образовании гелей в растворах, при коагуляции частиц в дымах, и т. д. Такие процессы принято называть процессами роста. Физический характер образования фрактального кластера определяет его структуру и свойства. [4]

В [4] показано, что фрактальная размерность D фрактального кластера определяется из уравнения:

, (1.2.1)

где – средняя плотность кластера внутри сферы радиуса r, d – размерность пространства, в которое помещен кластер.

Выведем уравнение для фрактальной размерности кластера сферических частиц радиуса с радиус-векторами ( ), где ( ), :

(1.2.2)