- •Литература
- •Реферат
- •1. Аналитическая часть
- •Фракталы
- •Фрактальная размерность
- •Фрактальная размерность Минковского
- •Фрактальная размерность по Хаусдорфу
- •Фрактальные кластеры
- •Матрица рассеяния
- •Общий вид матриц рассеяния систем сферических частиц
- •Распределение частиц по размерам
- •Радиус гирации (радиус инерции сечения)
- •Постановка задачи уир
- •2. Теоретическая часть
- •Алгоритм для моделирования кластеров сферических частиц, образованных по баллистическому механизму
- •Разбиение пространства на «блоки», обоснование разбиения, описание алгоритма
- •3. Программная реализация
- •Программная генерация кластера
- •Параметры распределения
- •Механизмы агрегации частиц
- •Параллельная реализация алгоритма, изложенного в пункте 2. Модификация алгоритма
- •Программный расчет параметров кластера
- •Результаты компьютерного эксперимента
- •Исследование предельных фрактальных характеристик кластеров сферических частиц
- •Исследование матриц рассеяния света для систем фрактальных кластеров сферических наночастиц
- •Заключение
- •Список литературы
Радиус гирации (радиус инерции сечения)
Радиус гирации – название нескольких схожих измерений размера объекта. Он вычисляется, как среднее квадратическое расстояний частей (частиц) объекта от центра масс или заданной оси [20]. Радиус гирации может быть расчитан с помощью момента инерции I и массы m объекта как целого:
.
Для системы сферических частиц (в частности, для рассматриваемых в статье кластеров сферических частиц) радиус гирации расчитывается по следующей формуле:
, (1.7.1)
где N – число частиц, – радиус-вектор, масса и радиус i-ой частицы.
Постановка задачи уир
В рамках УИР была сформулирована конкретная задача:
Разработка оптимизированного алгоритма и создание компьютерной программы, использующей распределенные вычисления, для моделирования больших (до 1 млрд. частиц) стохастических фрактальных кластеров сферических частиц с баллистическим механизмом агрегации в соответствии с заданным распределением мономеров по размерам;
исследование предельных характеристик фрактальных кластеров для следующих моделей агрегации: модель Айдена, линейная (баллистическая) с параметром соударения, линейная (баллистическая) без параметра соударения;
Расчет матрицы рассеяния света системы кластеров из наносфер как среднего по выборке из 2∙103 стохастических реализаций кластеров такого типа с заданным распределением мономеров по размерам.
2. Теоретическая часть
В ходе проведения УИР были поставлены и решены следующие математические задачи:
Алгоритм для моделирования кластеров сферических частиц, образованных по баллистическому механизму
Разбиение пространства на «блоки», обоснование разбиения, описание алгоритма
Введем прямоугольную пространственную сетку с шагом . Разобьем пространство на кубические «блоки»:
, – и введем нумерацию блоков: .
Будем рассматривать кластер из сферических частиц с центрами и радиусами ( ).
Утверждение. Тогда для баллистической траектории сферической частицы радиуса , проходящей через точку , с направлением ( ):
,
точка «прилипания» сферической частицы будет принадлежать одному из блоков , для которых выполнено . Обозначим множество таких блоков с номером за
Опираясь на это утверждение, можно предложить следующий алгоритм определения точки «прилипания» i-ой сферической частиц:
Для каждого блока определить множество частиц , где .
Для каждого и для каждого определить точку «прилипания» к j-ой сфере, как если бы других частиц не было. Полученное множество возможных точек «прилипания» обозначим за .
Вычислить реальную точку «прилипания» по формуле .
При увеличении параметра , отношение среднего количества сфер, лежащих одновременно в нескольких блоках, к среднему (среднего по блокам) количеству сфер, полностью содержащихся в блоке, сокращается. В то время, как количество блоков, принадлежащих , сокращается при уменьшении параметра .
Хотя такой алгоритм и приводит к тому, что точка «прилипания» к одной и той же сфере может быть рассчитана несколько раз, при правильном подборе параметров алгоритм дает существенное сокращение объемов вычислений.
□
3. Программная реализация
Программная генерация кластера
ГПСЧ
Для генерации стохастических кластеров использовался генератор равномерно распределенных псевдослучайных чисел. В качестве ГПСЧ был выбран алгоритм dSFMT (Double precision SIMD-oriented Fast Mersenne Twister).
Логнормально распределенные случайные числа, определяющие размеры каждой следующей частицы кластера, получались парами путём преобразования чисел ГПСЧ, описанного в задаче 2.1.