1. Функция распределения – неотрицательная функция F(x)≥0

2. Функция распределения – неубывающая функция (если x₂ x₁, то F(x₂) F(x₁))

3. На минус бесконечности функция распределения равна нулю, а на плюс бесконечности - единице, то есть F(- )=0, а F(+ )=1

4. Вероятность попадания случайной величины X в отрезок [x₁, x₂] равна приращению функции распределения на этом отрезке, то есть Pr{x₁ x x₂}=F(x₂)-F(x₁);

5. Функция распределения f(X) сама является случайной величиной, распределенной равномерно на отрезке [0,1].

27022012 Лекция 4

Плотность распределения

Для вероятностного описания непрерывных случайных величин помимо функции распределения широко используется понятие функции плотности распределения (закон распределения задаётся в виде плотности f(x)). Плотность распределения называется плотностью вероятности или дифференциальной функцией (законом) распределения.

Свойства плотности распределения:

1. Плотность распределения – неотрицательная функция;

2. 

3. Вероятность попадания случайной величины х в отрезок [х1,х2] Pr{x1≤x≤x2}=

Законы распределения

В теории моделирования дискретных систем чаще всего используются два закона распределения:

1. Закон распределения Пуассона

2. Геометрический закон распределения

Распределения Пуассона описывает случайную величину Х, что вероятность того, что она принимает целочисленное значение k, выражается по формуле:

P

(1.4)

_k=Pr{X=k}= e^-a , k=0, 1, 2, ...,N; где а>0 и называется параметром распределения Пуассона.

Геометрический закон распределения – это распределение дискретной случайной величины Х=k вида:

P_k=Pr{X=k}=(1-)^k, k=0, 1, 2, ..., N; где  - параметр распределения (0<  <1).

Если параметр  заменить параметром  =1-  : P_k= ^k(1-), k=0, 1, 2, ...,N; где 0<<1.

(Обладает свойством отсутствия последействия, то есть прошлое не влияет на настоящее или будущее)

В случае непрерывных случайных величин широко используемыми законами распределения (ФРНСВ):

1. Экспоненциальное распределение;

2. Распределение Эрланга;

3. Гиперэкспоненциальное распределение;

4. Гиперэрланговское распределение (Распределение пальмы);

5. Равномерное распределение.

Экспоненциальное распределение – это распределение непрерывной случайной величины с функцией распределения: F

(1.6)

(t)=1-e^-t, t 0; где >0 и называется параметром экспоненциального распределения. Однопараметрический закон, так имеет лишь один параметр .

Плотность распределения: f(t)=F^/(t)= e^-t, t 0.

(единственное непрерывное распределение, которое обладает свойством отсутствия последействия).

Будущее ЭРСВ не зависит от прошлой истории этой величины.

Свойство отсутствия последействия для непрерывных случайных величин на примере телефонных проводов.

t 0 – прерывание разговора

τ –t1 – весь интервал разговора

τ’ – дальнейший непрерывный разговор

Все интервалы распределены, как исходный.

Математическое обоснование:

F_’ (t)=Pr{’ t}=Pr{ t+t₀|>t₀}= = (используем четвертое свойство функции распределения и определение условной вероятности).

чтд

Распределение Эрланга k-го порядка

Называется распределение, описывающее непрерывную случайную величину, представляющую собой сумму k независимых случайных величин, распределенных одинаково по Экспоненциальному закону с параметром .

 - параметр экспоненциального распределения

k- число независимых случайных величин

F

(1.8)

_k(t)=1-e^-t , t 0;

f

(1.9)

_k(t)= e^-t, t 0,

где k=1, 2, 3, ..., N

Распределение Эрланга является двухпараметрическим.

Экспоненциальное распределение можно рассматривать как частный случай распределения Эрланга при k=1. При k распределение Эрланга приближается к нормальному распределению.