05032012 Лекция 5

Гиперэкспоненциальное распределение

ГЭР порядка k называется распределение, описывающее случайную величину, которая с вероятностью p1 будет распределена по экспоненциальному закону с параметром λ1, с вероятностью p2 будет распределена по экспоненциальному закону с параметром λ2, с вероятность pk с параметром λk. При этом параметр k принимает только целочисленные значения, а вероятности p1, p2, …, pk удовлетворяют условию .

Функция и плотность распределения гиперэкспоненциального распределения порядка k имеют вид:

F

(1.10)

_k(t)=1- , t 0;

(1.11)

f_k(t)= , t 0.

Гиперэрланговское распределение

Генератор запускается трижды (по ветвям, по количеству элементов в ветви, случайная величина для расчёта). В общем виде формул нет. Для каждого случая пишем отдельно. Условие должно выполняться.

Равномерное распределение

Равномерное распределение – это распределение, описывающее непрерывную случайную величину, равномерно распределённую на отрезке [a,b], если её функция распределения имеет следующий вид:

0 при x<a;

F

(1.12)

(x)= , если a x b;

1 при x>b.

При этом плотность распределения определяется выражением:

Числовые характеристики случайных величин

Моменты – это самые яркие характеристики в теории вероятности, способны заменить функции распределения и плотности. Они бывают 1-го и n-го порядка; начальными и центральными.

2 подхода, чтобы выявить моменты.

Числовые характеристики позволяют в сжатой форме выразить наиболее существенные особенности распределения случайной величины.

Начальный момент n-го порядка:

Математическое ожидание (среднее значение) – первый начальный момент, n=1:

Начальный момент n-го порядка случайной величины - это математическое ожидание ее n-ой степени.

Свойство:

1.Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых, то есть M[X₁+X₂+…+X_m]=M[X₁]+M[X₂]+…+M[X_m] и здесь неважно, зависимы или независимы случайные величины X₁ , X₂ , ... , X_m..

2.Математическое ожидание произведения случайных величин равно произведению математических ожиданий, то есть M[X₁X₂…X_m]=M[X₁]M[X₂]…M[X_m] только в том случае, когда случайные величины независимы.

3.Рассмотрим теперь непрерывную случайную величину Y, которая является функцией другой случайной величины Х, то есть Y=g(X). Тогда математическое ожидание случайной величины Y определяется через плотность распределения ее аргумента X равенством:

M[Y]=M[g(X)]= .

Этот результат известен как основная теорема о математических ожиданиях.

–разность между случайной величиной и её средним значением (мат.ожиданием) – это центрированная случайная величина.

M[( ⁿ] – центральный момент n-го порядка – есть мат.ожидание n-степени соответствующей центрированной случайной величине:

Центральный момент первого порядка не имеет смысла.

Центральный момент 2-го порядка – дисперсия – отклонение случайной величины от её среднего значения.

Дисперсия случайной величины характеризует рассеивание, то есть разброс случайной величины относительно ее математического ожидания, и имеет размерность квадрата случайной величины. Однако удобнее пользоваться характеристикой рассеивания, размерность которой совпадает с размерностью случайной величины. Среднее квадратическое отклонение - обозначаемое как [X] или _x и определяемое как квадратный корень из дисперсии: 

(1.19)

[X]=_x= .

Коэффициент вариации характеризует отклонение (дисперсионный поток разбросности) случайной величины от её среднего значения:

(1.20)

_x= .

*Итого пять характеристик: мат ожидание (1 начальный момент), 2 начальный момент, дисперсия (2 центральный момент), среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.