- •Экзаменационные вопросы
- •Определение уравнения второго порядка, его решения, геометрический смысл решения. Общее решение. Задача Коши, геометрический смысл. Показать, что функция является решением уравнения .
- •Теоремы о структурах решений линейного однородного и неоднородного уравнений второго порядка. Являются ли функции и общими решениями однородных уравнений?
- •Общее решение линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Решите задачу Коши
- •Метод Лагранжа для линейного неоднородного уравнения второго порядка. Решите уравнение
- •Основные понятия теории числовых рядов. Необходимое условие сходимости. Показать расходимость гармонического ряда.
- •Знакочередующиеся ряды. Достаточный признак сходимости Лейбница. Абсолютная и условная сходимость рядов. Свойства абсолютно сходящихся рядов
- •Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал сходимости.
- •Единственность разложения в степенные ряды. Ряд Маклорена.
- •Разложение в степенной ряд функций .
- •Ортогональные и ортонормированные системы функций. Общий ряд Фурье.
- •Ортогональные и ортонормированные системы функций. Показать ортогональность тригонометрической системы.
- •Тригонометрический ряд Фурье на [-π;π]. Вычисление коэффициентов. Сходимость ряда. Тригонометрический ряд Фурье для четных и нечетных функций.
- •Сходимость рядов Фурье.
- •Тригонометрический ряд Фурье для четных и нечетных функций.
- •Тригонометрический ряд Фурье на [-l;l].
- •Ряд Фурье на [0;l].
- •Вывод уравнения колебания струны. Постановка краевой задачи.
- •Решение краевой задачи для уравнения колебания струны методом Фурье.
- •Колебания бесконечной струны. Формула Даламбера.
- •Вывод уравнения теплопроводности в конечном стержне. Постановка первой краевой задачи.
- •Решение краевой задачи для уравнения теплопроводности в конечном стержне методом Фурье.
- •Случайные события. Классическое определение вероятности.
- •Теорема сложения вероятностей.
- •Теорема умножения вероятностей.
- •Формула полной вероятности
- •Формула Бейеса
- •Случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона.
- •Функция распределения непрерывной случайной величины. Ее свойства.
- •Числовые характеристики дискретных случайных величин. Числовые характеристики непрерывных случайных величин. Свойства математического ожидания и дисперсии.
- •Основные распределения непрерывных случайных величин. Равномерное распределение.
- •Основные распределения непрерывных случайных величин. Нормальное распределение.
Основные понятия теории числовых рядов. Необходимое условие сходимости. Показать расходимость гармонического ряда.
Опр. Сумма членов бесконечной числовой последовательности называется числовым рядом.
При этом числа называются членами ряда, а un – общим членом ряда.
Опр. Суммы , n = 1, 2, … называются частными (частичными) суммами ряда.
Опр. Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность его частных сумм. Сумма сходящегося ряда – предел последовательности его частных сумм.
Опр. Если последовательность частных сумм ряда расходится, т.е. не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся и ему не ставят в соответствие никакой суммы.
При изучении рядов решают в основном две задачи: исследование на сходимость и нахождение суммы ряда.
Утв. (необходимый признак сходимости) Если ряд сходится, то общий член un стремится к нулю. Однако, это условие не является достаточным. Можно говорить только о том, что если общий член не стремится к нулю, то ряд точно расходится.
Например, так называемый гармонический ряд является расходящимся, хотя его общий член и стремится к нулю.
Док-во. Рассмотрим частичные суммы гармонического ряда:
Видим, что частичная сумма неограниченно возрастает, т.е. гармонический ряд расходится.
Ряды с положительными членами. Достаточные признаки сравнения. Достаточные признаки сходимости Даламбера, Коши. Достаточный интегральный признак сходимости. Геометрический смысл интегрального признака.
Опр. Ряд вида , где , называется рядом с положительными членами.
Теорема. Для сходимости ряда с положительными членами необходимо и достаточно, чтобы частные суммы ряда были ограничены.
Достаточные признаки сравнения рядов с положительными членами.
Пусть даны два ряда и при un, vn 0.
Теорема. Если un vn при любом n, то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .
Доказательство. Обозначим через Sn и n частные суммы рядов и . Т.к. по условию теоремы ряд сходится, то его частные суммы ограничены, т.е. при всех n n M, где М – некоторое число. Но т.к. un vn, то Sn n то частные суммы ряда тоже ограничены, а этого достаточно для сходимости.
Теорема. Если и существует предел , где h – число, отличное от нуля, то ряды и ведут одинаково в смысле сходимости.
Достаточные признаки сходимости
Признак Даламбера.
Если для ряда с положительными членами существует такое число q<1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство
то ряд сходится, если же для всех достаточно больших n выполняется условие
то ряд расходится.
Следствие. Если существует предел , то при < 1 ряд сходится, а при > 1 – расходится. Если = 1, то на вопрос о сходимости ответить нельзя.
Признак Коши. (радикальный признак)
Если для ряда с неотрицательными членами существует такое число q<1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство
,
то ряд сходится, если же для всех достаточно больших n выполняется неравенство
то ряд расходится.
Следствие. Если существует предел , то при <1 ряд сходится, а при >1 ряд расходится.
Интегральный признак Коши.
Если f(х) – непрерывная положительная функция, убывающая на промежутке [1;), то ряд f(1) + f(2) + …+ f(n) + … = и несобственный интеграл одинаковы в смысле сходимости.
Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции y=f(x), с боковых сторон прямыми х=1, х=n, снизу осью Ох. Впишем в эту трапецию и опишем около нее две ступенчатые фигуры, состоящие из прямоугольников с основаниями [1, 2], [2, 3], …, [n-1, n] и высотами f(1), f(2), f(3),…, f(n-1), f(n). Тогда, принимая во внимание геометрический смысл определенного интеграла, имеем
или, короче, Отсюда получаем
где - частичные суммы рассматриваемого ряда.
Пусть интеграл сходится. Это значит, что существует Так как , то последовательность возрастает с увеличением n и ограничена сверху своим пределом: . Из неравенства (1) следует, что т. е. последовательность частичных сумм ряда ограничена. Это значит, что ряд сходится.
Пусть теперь интеграл расходится. В этом случае при (как монотонно возрастающая неограниченная последовательность). Из неравенства (2) следует, что при , т. е. последовательность частичных сумм ряда расходится и, следовательно, ряд расходится.