10. Единственность разложения в степенные ряды. Ряд Маклорена.

Как показывает следующая теорема, разложение функции в степенной ряд единственно.

Теорема. Если функция f (х) на интервале (—R, R) разлагается в степенной ряд

, (1) то это разложение единственно.

Доказательство. По условию ряд (1) сходится на интервале (—R, R) и функция f(х) — его сумма. Следовательно, ряд (1) можно почленно дифференцировать на интервале (—R, R) любое число раз. Дифференцируя, получаем

,

то получаем:

……………………………….

Полагая в полученных равенствах и в равенстве (1) x=0, имеем

откуда находим

(2)

Таким образом, все коэффициенты ряда (1) определяются единственным образом формулами (9), что и доказывает теорему.

Подставляя полученные выражения коэффициентов в равенство (1), получаем

Итак, если функция f(х) разлагается в степенной ряд, то этот ряд имеет вид

(3)

Ряд (3) называется рядом Маклорена для функции f (х).

Таким образом, ряд Маклорена можно считать частным случаем ряда Тейлора.

11. Разложение в степенной ряд функций .

Функция f(x) = e^x.

Находим: f(x) = e^x, f(0) = 1

f(x) = e^x, f(0) = 1

……………………

f⁽ⁿ⁾(x) = e^x, f⁽ⁿ⁾(0) = 1

Тогда:

Функция f(x) = sinx.

Получаем f(x) = sinx; f(0) = 0

f(x) = cosx = sin( x + /2); f(0) = 1;

f(x) = -sinx = sin(x + 2/2); f(0) = 0;

f(x) = -cosx = sin(x + 3/2); f(0)=-1;

…………………………………………

f⁽ⁿ⁾(x) = sin(x + n/2); f⁽ⁿ⁾(0) = sin(n/2);

f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) = sin(x + (n + 1)/2); f⁽ⁿ⁺¹⁾() = sin( + (n + 1)/2);

Итого:

Функция f(x) = cosx.

Для функции cosx, применив аналогичные преобразования, получим:

12. Ортогональные и ортонормированные системы функций. Общий ряд Фурье.

Определение. Система функций , (1), заданная на отрезке [a; b] называется ортогональной системой на этом отрезке, если

Определение. Ортогональная система функций (1), заданная на отрезке [a; b] называется ортонормированной системой на этом отрезке, если

Определение. Тригонометрическим рядом называется ряд вида:

или, короче,

Определение. Рядом Фурье для функции f(x) называется тригонометрический ряд, коэффициенты которого вычисляются по формулам:

.

Если ряд Фурье функции f(x) сходится к ней во всех ее точках непрерывности, то говорят, что функция f(x) разлагается в ряд Фурье.

13. Ортогональные и ортонормированные системы функций. Показать ортогональность тригонометрической системы.

Лемма 1. Если n – целое число, то . (1)

Доказательство. Если n =0, то (1) очевидно.

Если n≠ 0, то .

Лемма 2. Если n ≠ 0 – целое число, то

Доказательство.

Покажем ортогональность тригонометрической системы 1, cosx, sinx, cos2x, sin2x, …, cosnx, sinnx, …

взаимно ортогональны на промежутке [−π,π].

1) Ортогональность 1 и sin kx ( k =1,2,…) на промежутке [−π,π] доказана в лемме 1.

2) Ортогональность 1 и cos kx ( k =1,2,...) на промежутке [−π,π] доказана в лемме 2.

3) Ортогональность cos px и cosqx ( p =1,2,... ; q =1,2,... ; p ≠ q ) на промежутке [−π,π] следует из того, что cos px∙cosqx=(1/2)[cos( p−q)x+cos( p+q)x] и из леммы 2.

4) Ортогональность sin px и sin qx ( p =1,2,... ; q =1,2,... ; p ≠ q ) на промежутке [−π,π] вытекает из того, что sin px∙sin qx=(1/2)[cos( p−q)x−cos( p+q)x] и из леммы 2.

5) Ортогональность sin px и cosqx ( p =1,2,... ; q =1,2,... ) на промежутке [−π,π] следует из того, что sin px∙cosqx=(1/2)[sin ( p+q)x+sin ( p−q)x] и из леммы 1.