- •Экзаменационные вопросы
- •Определение уравнения второго порядка, его решения, геометрический смысл решения. Общее решение. Задача Коши, геометрический смысл. Показать, что функция является решением уравнения .
- •Теоремы о структурах решений линейного однородного и неоднородного уравнений второго порядка. Являются ли функции и общими решениями однородных уравнений?
- •Общее решение линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Решите задачу Коши
- •Метод Лагранжа для линейного неоднородного уравнения второго порядка. Решите уравнение
- •Основные понятия теории числовых рядов. Необходимое условие сходимости. Показать расходимость гармонического ряда.
- •Знакочередующиеся ряды. Достаточный признак сходимости Лейбница. Абсолютная и условная сходимость рядов. Свойства абсолютно сходящихся рядов
- •Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал сходимости.
- •Единственность разложения в степенные ряды. Ряд Маклорена.
- •Разложение в степенной ряд функций .
- •Ортогональные и ортонормированные системы функций. Общий ряд Фурье.
- •Ортогональные и ортонормированные системы функций. Показать ортогональность тригонометрической системы.
- •Тригонометрический ряд Фурье на [-π;π]. Вычисление коэффициентов. Сходимость ряда. Тригонометрический ряд Фурье для четных и нечетных функций.
- •Сходимость рядов Фурье.
- •Тригонометрический ряд Фурье для четных и нечетных функций.
- •Тригонометрический ряд Фурье на [-l;l].
- •Ряд Фурье на [0;l].
- •Вывод уравнения колебания струны. Постановка краевой задачи.
- •Решение краевой задачи для уравнения колебания струны методом Фурье.
- •Колебания бесконечной струны. Формула Даламбера.
- •Вывод уравнения теплопроводности в конечном стержне. Постановка первой краевой задачи.
- •Решение краевой задачи для уравнения теплопроводности в конечном стержне методом Фурье.
- •Случайные события. Классическое определение вероятности.
- •Теорема сложения вероятностей.
- •Теорема умножения вероятностей.
- •Формула полной вероятности
- •Формула Бейеса
- •Случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона.
- •Функция распределения непрерывной случайной величины. Ее свойства.
- •Числовые характеристики дискретных случайных величин. Числовые характеристики непрерывных случайных величин. Свойства математического ожидания и дисперсии.
- •Основные распределения непрерывных случайных величин. Равномерное распределение.
- •Основные распределения непрерывных случайных величин. Нормальное распределение.
Решение краевой задачи для уравнения колебания струны методом Фурье.
Решение уравнения будем искать в виде при граничных условиях: . Тогда X(0) = X(l) = 0.
Подставим решение в исходное уравнение:
Можно показать, что функции Х и Т имеют вид:
Все решения исходного дифференциального уравнения, удовлетворяющие граничным условиям, можно записать в виде:
Окончательно решение уравнения колебаний струны можно записать в виде:
где
Колебания бесконечной струны. Формула Даламбера.
В случае если длина струны очень велика, то на колебания, возникающие в середине струны, концы струны влияния практически не оказывают. Поэтому, рассматривая колебания бесконечной струны, уравнение , решается только при начальных условиях:
Для нахождения решения введем новые переменные: Тогда исходное уравнение принимает вид: Решением этого уравнения будет функция , где и - некоторые функции, которые будем считать дважды дифференцируемыми.
Получаем:
Если продифференцировать полученный ответ, получим:
Т.е. .
Далее с использованием начальных условий находим функции и .
Проинтегрировав последнее равенство на отрезке [0, x], получаем:
Тогда:
Решение задачи Коши получаем в виде:
Эта формула называется формулой Даламбера.
Вывод уравнения теплопроводности в конечном стержне. Постановка первой краевой задачи.
Рассмотрим однородный цилиндрический стержень, боковая поверхность которого изолирована от внешнего пространства.
Направим Ох вдоль оси стержня и обозначим через и(х, t) температуру в сечении стержня с абсциссой х в момент t. Пусть АВ - элемент стержня, заключенный между сечениями х и (см. черт.).
Будем считать промежуток времени столь малым, чтобы температуру в сечениях х и можно было принять неизменной (во времени). Опытом установлено, что количество тепла q, протекающее через какой-нибудь стержень, концы которого поддерживаются при постоянных температурах, пропорционально разности этих температур, площади сечения стержня, промежутку времени и обратно пропорционально длине стержня. Поэтому для элемента АВ можем написать:
(1)
где К—коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом внутренней теплопроводности, s — площадь поперечного сечения. В пределе при мы получим количество тепла Q, протекающее через сечение х, за время :
Рассмотрим опять элемент АВ. Количество тепла , которое получит этот элемент за время , выразится так:
(2)
(следует иметь в виду, что тепло течет в направлении, обратном тому, в котором возрастает температура). Величину можно подсчитать и другим способом.
Будем считать элемент АВ столь малым, что в каждый данный момент температуру всех его сечений можно считать одной и той же. Тогда
где с — теплоемкость вещества стержня, плотность (на единицу длины) и, следовательно, - масса элемента АВ. Сопоставление (1) и (2) дает:
и если перейти к пределу при и , то
(3)
где положено . Мы получили уравнение распространения тепла в стержне (или уравнение теплопроводности в линейном случае).
В зависимости от условий, в которых находятся концы стержня, можно поставить несколько задач.
Поставим задачу: найти функцию непрерывную для , имеющую непрерывные частные и для удовлетворяющую дифференциальному уравнению (3) для , и следующим условиям:
1) начальному условию , (4) где f(x) - заданная на отрезке непрерывная функция;
2) граничным условиям (5)
Таким образом, предполагается, что в начальный момент времени температура в стержне выражается функцией f(x), а на протяжении всего времени опыта на концах стержня искусственно поддерживается температура нуль.