Тригонометрический ряд Фурье для четных и нечетных функций.

Отметим следующие свойства четных и нечетных функций:

1)

2) Произведение двух четных и нечетных функций является четной функцией.

3) Произведение четной и нечетной функций – нечетная функция.

Справедливость этих свойств может быть легко доказана исходя из определения четности и нечетности функций.

Если f(x) – четная периодическая функция с периодом 2p, удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье, то можно записать:

Таким образом, для четной функции ряд Фурье записывается:

Аналогично получаем разложение в ряд Фурье для нечетной функции:

15. Тригонометрический ряд Фурье на [-l;l].

Нужно разложить в тригонометрический ряд функцию f(x) периода 2l. Полагаем, и получаем функцию периода 2l. Составим ряд Фурье для функции периода Т = 2l

,

где

Возвратившись к переменному х, т.е.положив , получим:

16. Ряд Фурье на [0;l].

Если функция f(x) задана в промежутке [0, l] (l > 0), то, прибегнув к замене переменной , получим разложение ее в ряд по косинусам:

или в ряд по синусам:

При этом коэффициенты разложений вычисляются, соответственно, по формулам:

17. Вывод уравнения колебания струны. Постановка краевой задачи.

Определение. В математической физике струной называется тонкая нить, в которой возможно возникновение напряжений только в продольном, но не в поперечном направлении.

Пусть концы натянутой струны закреплены в точках х = а и x = b, возникающие в ней напряжения обозначим Т. Будем также считать, что плотность струны постоянна на всем ее протяжении.

Допустим, что в момент t₀ = 0 струна выведена из состояния равновесия и совершает малые колебания.

Отклонение струны в каждой точке с координатой х в момент времени t обозначим как

u

C

B  A

D

0 a x x+x b x

На произвольный элемент длины нити (х, х + х) действуют две силы натяжения и . При этом:

Если считать колебания малыми, то можно принять: . Тогда проекция силы на ось u: . Проекция силы на ось u: . Находим сумму этих проекций:

Выражение, стоящее в правой части равенства получено в результате применения теоремы Лагранжа к выражению, стоящему слева.

Произведение массы на ускорение рассматриваемого элемента струны равно: где  - плотность струны.

Приравнивая полученное выражение к значению проекции силы, получим:

Или

Для полного определения движения струны полученного уравнения недостаточно. Функция u(x, t) должна еще удовлетворять граничным условиям, описывающим состояние струны на концах (в точках x = a и x = b) и начальным условиям, описывающим состояние струны в момент времени t = 0.

Совокупность граничных и начальных условий называется краевыми условиями.

Таким образом, задача Коши состоит в нахождении решения линейного дифференциального уравнения с частными производными второго порядка при начальных условиях и краевых условиях .

Начальные условия показывают, в каком положении находится струна в начальный момент времени и скорость каждой ее точки в начальный момент времени.

Функции f(x) и F(x) заданы.

Краевые условия показывают, что концы струны закреплены в точках a = 0, b = l