11. Интегрирование рациональных дробей.

12.Интегралы вида ∫Sinnx*Cosmx

1) Если хотя бы одно из чисел m или n нечётное положительное целое число, то определяя от нечётной степени 1 сомножитель, и выражаем с помощью формы Sin2x+Cos2x=1 оставщуюся чётную степнь через чётную функцию приходим к табличному интегралу.

2) Если m и n чётные неотрицательные числа то степень понижается посредством перехода к двойному аргументу с помощью тригонометрической формулы.

Sin²x=(1-Cos2x)/2 Cos²x=(1+Cos2x)/2 Sinx*Cosx=0,5*Sin2x

3) m+n= -2k, kєN, но если m+n – является целым чётным отрицательным числом, могут целесообразно использовать подставки tgx= -t или ctgx=t, так же целесообразно пользоваться формулами.

1/Sin²x=ctg²x+1 1/Cos²x=tg²x+1

13.Интегралы вида ∫Sinⁿax*Cos^mbx dx

∫Sinⁿax*Cos^mbx dx

Используем формулы:

CosαCosβ=0,5(Cos(α-β)+Cos(α+β))

SinαSinβ=0,5(Cos(α-β)-Cos(α+β))

SinαCosβ=0,5(Sin(α-β)+Sin(α+β))

∫Cosbx dx=(Sinbx)/b+C

∫Sinax dx= -(Cosax)/a+C

14.Интегралы вида ∫R(Sinx,Cosx) dx

R(U,V) – рациональная функция от U,V подстановка: tg(x/2)=t, Sinx=2t/(1+t²), Cosx=(1-t²)/(1+t²), dx=2dt/(1+t²)

15.Интегрирование иррациональных функций.

∫R(x,((ax+b)/(cx+d))^m1/n1, ((ax+b)/(cx+d))^m2/n2, …)dx

R(x,y,z, …) – рациональные функции своих аргументов m1,n1,m2,n2, … - целые числа

((ax+b)/(cx+d))^S=t^S, где S-общий знаменатель дробей.

19.Диффиренциальные уравнения. Основные понятия.

Определение 1.При изучении различных физических явлений не всегда удается непосредственно закон, связывающий искомую функцию и ее независимые переменные, но часто бывает возможно установить связь между этой функцией и ее производной. Уравнения, выражающие эту связь, называют дифференциальными уравнениями.

Определение 2.В общем случае ДУ –уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее производную. Если искомая функция зависит только от одной переменной, то уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ), а если искомая функция зависит от нескольких переменных – то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Определение 3. Порядком ДУ называется порядок старшей производной, входящей в уравнение.

20.Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема Пикара.

Определение 1.Уравнение видаF(x,y,y’)=0, связывающее независимую переменную х, искомую функцию y(x) и ее производную y’(x), называется обыкновенным ДУ 1-го порядка (ОДУ).

Определение 2.Всякая непрерывно дифференцируемая функция y(x), обращающая это уравнение в тождество называется решением этого уравнения.

Определение 3. Процесс отыскания обычно связан с интегралом, поэтому он называется интегрированием ДУ.

Определение 4.Функцию у = у(х,с), которая при любом значении произвольной постоянной является решением данного дифференциального уравнения будем называть общим решением этого уравнения.

Определение 5.Каждая кривая из семейства решений называется интегральной кривой.

Определение 6.Соотношение Ф(х, у(х), с) = 0, определяющее общее решение как неявную функцию, называется общим интегралом ДУ.

Задача Коши

Допустим, среди всех решений данного ДУ 1-го порядка найти решение у=у(х), которое при заданном значении аргумента х=х₀ принимает заданное фиксированное значение у_0, т.е. решение удовлетворяющее начальному условию.

С геометрической точки зрения, этой задаче соответствует отыскание среди всех интегральных кривых такой, которая проходит через (.) М.

Будем говорить, что задача Коши с условием у(х₀)=у₀имеет единственное решение, если существует такое h>0, что в интервале |х-х₀|<h определено решение у=у(х) такое, что у(х₀)=у₀ и не существует решения, определенного в этом же интервале и не совпадающего с решением у=у(х), хотя бы в 1 точке интервала |х-х₀|<h, отличного от х_0.

В противном случае будем говорить, что в А(х₀у₀) нарушится единственность решения задачи Коши.

Отличный критерий: Теорема Пикара

Если в уравнении непрерывна, а ее частная производная ограничена в области , тогда уравнение имеет единственное решение у=у(х) в окрестности А(х_0, у₀), удовлетворяющее условию у(х₀)=у₀.

Определение 7.Общим решение ОДУ 1-го порядка в некоторой области называется функция у=у(х,с), зависящая от аргумента х и произвольной постоянной с, если она является решением уравнения при любых значениях произвольной постоянной и если соответствующим выбором ее значения можно решить любую задачу Коши в рассмотренной области.