21.Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Определение 1 M(x,y)dx + N(x,y)dy=0 называется уравнением с разделяющимися переменными, если

Решение:

Определение 2. Уравнение вида y’=f(x,y) называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде:

22.Однородные дифференциальные уравнения

Определение 1.f(x,y) называется однородной функцией степени m,если f(tx, ty)=t^m*f(x,y).

Определение 2. ДУ вида M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 однородное, если M(x,y) и N(x,y) – однородные функции одинаковой степени однородности.

Решение: подстановка y = x* U(x), dy=Udx+xdU, U=y/x.

M(x, Ux)dx+N(x, Ux)(Udx+xdU)=0;

(x^m)*M(1,U)dx+(x^m)*N(1,U)*Udx+(x^(m+1))*N(1,U)dU=0 |:(x^m)

x=0 особое решение

(M(1,U)+U*N(1,U))dx=-N(1,U)xdx=0 |(M(1,U)+x)

//Ln|x|=-

Определение 3. Уравнение вида называется однородным ДУ 1-го порядка.

Решение: замена .

23. Линейные дифференциальные уравнения

Определение 1.Уравнение вида называется линейным ДУ 1-го порядка. Решение:

Метод вариации произвольной постоянной	Просто второй способ)
, .	,

24. Дифференциальные уравнения Бернулли

Определение 1.Уравнения вида

Решение: подстановка (см. линейные).

25.Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Определение 1. Уравнение вида называется ДУ в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом функции , то есть

Критерий проверки:

Решение:

26.Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной.

Предположим, что разрешимо либо относительно искомой функции, либо относительно аргумента

Тогда оно интегрируемо путем введения параметра

27. ДУ высших порядков. Теоремы существования

Определение 1. ДУ вида называется ДУ nного порядка.Всякая функция ,определенная, непрерывная и дифференцируемая на интервале (a,b) называется решением данного ДУ в этом интервале, если она обращает уравнение в тождество.

Определение 2.Задачи Коши.Среди всех решений данного ДУ найти такое, что y=y(х)ю которое вместе со своими производными до (n-1) порядка включительно принимает заданное значение в данной точке x₀. То есть y(x₀)=y₀, y’(x₀)=y’₀ и тд.

Допустим, ДУ можно представить ввиде

.

Теорема Пикара (здоровая штука).

Если в уравнении

И частные производные непрерывны в области D

( )

И поставлено условие:

Тогда, для любой точки из D: (x₀,y₀,y’₀, y’’₀, … ) , на котором существует единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию.

Определение 3.Общим решением ДУ n-ного порядка называется функция

,где с1, с2, сn- постоянные и выполняющая условие функция удовлетворяет уравнению при любых значениях произвольных постоянных. При заданных условиях постоянные с определяются таким образом, что функция будет удовлетворять начальным условиям.

Определение 4. Соотношение , определяющее решение неявно, называется общим решением ДУ. Всякое решение, получаемое из общего решения при конкретных значениях произвольных постоянных, называются частным решением, а график частного решения называется интегральной кривой.

Определение 5. Решение данного уравнения, не содержащего в семействе его общего решения, называется особым решением.

Краевая задача

В краевой задаче условия, накладываемые на искомое решение, задаются не в 1 точке, а на концах некоторого промежутка [a,b] и имеется решение, определенное внутри этого промежутка.