28. Ду, допускающие понижение порядка

Определение 1. Уравнение вида: называется уравнением, допускающим понижение порядка.

Решение:

Определение2.Уравнение вида: называется уравнением, допускающим понижение порядка.

Решение: .

Определение3.Уравнение вида: называется уравнением, допускающим понижение порядка.

Решение:

29.ЛДУ n-ного порядка. Определитель Вронского

Определение 1. Линейным неоднородным ДУ называется ДУ n-ного порядка с переменными коэффициентами, имеющее вид:

коэффициенты ДУ.

Частный случай:

Тогда уравнение называется линейным уравнением n-ного порядка с постоянными коэффициентами.

NB: данное уравнение называется линейным, так как искомая функция и ее производные входят в уравнение в 1 степени в качестве слагаемых, то есть линейно.

Определение 2. Если , то уравнение называется линейным однородным уравнением n-ного порядка. В противном случае оно называется неоднородным.

Определитель Вронского и его свойства.

Определение 1. Выражение называется линейной комбинацией функций.

Определение 2. Функции y(x); y2(x) … yn(x) линейно независимы на интервале [a;b],если линейная комбинация обращается в ноль лишь при условии, что все постоянные обращаются в ноль. В противном случае функции линейно зависимы.

Определение 3. Предположим, что функции имеют производные до n-1 порядка на некотором интервале [a;b].

W(x) = Теорема 1. Если y1(x), y2(x)…yn(x) линейно зависимы в интервале [a;b], то и вронскиан = 0.

Теорема 2. Если y1(x),y2(x)…yn(x) есть линейно независимые решения уравнения L[y]=0, то вронскиан этих решений не обращается в ноль ни в одной из точек [a;b].

30. Лоду n-ного порядка с постоянными коэффициентами.

Подстановка Эйлера. ;

, где

Корни характеристического уравнения.

1. Вещественные корни кратности 1:

2. Комплексные корни, кратности 1:

3. Вещественные корни кратности k:

Комплексные корни, кратности k:

31.Лнду n-ного порядка. Основные понятия. Метод вариации произвольных постоянных

Определение:

Теорема о структуре общего решение ЛНДУ:

Если - решение ЛОДУ , а - частное решение ЛНДУ, то общее решение ЛНДУ:

Замечание:

Нетрудно догадаться, что уравнение имеет общее решение

Метод вариаций произвольных постоянных(Метод Лагранжа)

Подбор частного решения ЛНДУ представляет собой самостоятельную проблему. МВПП позволяет найти общее решение ЛНДУ, если известно общее решение соответствующего ЛОДУ.

Th: Общее решение ЛНДУ на [a;b] может быть найдено, если известно общее решение ЛОДУ. Не нарушая общности возьмем

Будем искать решение

32.Лнду n-ного порядка с правой частью специального вида.

-непрерывна на (a;b)в некоторых случаях позволяет решить ДУ без интегрирования:

1)

1a) не является корнем характеристического уравнения.( ) тогда частное решение , где – многочлен степени n с неизвестными коэффициентами.

1б) совпадает с корнем характеристического уравнения

2)

, - заданные многочлены степени mили меньшей

2а) не является корнем характеристического уравнения

, - подлежат определению

2б) кратности k