2.7 Математические модели объектов на микроуровне

На микроуровне объекты математического моделирования рассматриваются как сплошные среды или как системы с распределенными параметрами.

Обычно под моделью сплошной средой понимается некоторое поле, определенное в области геометрического пространства и непрерывно его заполняющее. Например, в механике имеют дело с полем материала (твердого, жидкого или газообразного), вложенного в это пространство, причем на этом материале обычно рассматриваются и другие поля (например, температурное). В общем случае рассматривается некоторый процесс в области (возможно, неограниченной) трехмерного евклидова пространства, т.е. на такой области определено физическое поле, которое изменяется со временем. Соответственно в моделях сплошной среды искомая величина, как правило, непрерывно зависит от нескольких переменных. Чаще всего такие модели описываются с помощью аппарата дифференциального исчисления, а именно, уравнениями математической физики, которые обычно являются дифференциальными уравнениями в частных производных.

Общий вид уравнений математической модели описания физических свойств объекта на микроуровне:

,

(10)

где – искомая функция (фазовая координата);

– пространственные координаты;

– количество пространственных координат;

– время.

Независимыми переменными в этих моделях являются пространственные координаты . Фазовая координата – функция независимых переменных.

Размерность задачи определяется числом пространственных координат: при – объект одномерный; при – двумерный; – трехмерный.

Если уравнение содержит одну фазовую переменную, модель объекта описывается одним уравнением вида (10), если несколько фазовых переменных, т.е. вектор , то системой уравнений.

Если фазовые переменные не являются функциями времени, задачу анализа объекта на микроуровне называют стационарной. Стационарная задача характеризует статическое состояние объекта или установившийся процесс. Решение стационарной задачи внутри некоторой сплошной области определяется лишь условиями на границе и не зависит от времени.

Динамические режимы функционирования объекта относятся к нестационарным задачам, и для их оценки требуются исследования переходных процессов. Нестационарные уравнения в частных производных описывают решение задач с заданными начальными (временными) и граничными условиями. Типичными примерами нестационарных задач могут служить задачи распространения тепла, расчета характеристик свободного колебания, возникшего вследствие некоторого начального возмущения и т.д.

Важно, чтобы задача для уравнения в частных производных была корректно поставлена, т.е. имела бы единственное решение, непрерывно зависящее от начальных и граничных условий (также называемых краевыми условиями).

Начальные условия определяются законом распределения искомой величины внутри области в начальный момент времени и задаются только при решении нестационарных задач (при исследовании переходных процессов). В качестве граничных условий могут быть заданы значения искомой непрерывной функции или ее производной на границах области. Граничные условия характеризуют взаимодействие объекта с окружающей средой. Существует несколько стандартных способов задания граничных условий (например, граничные условия первого, второго и третьего рода для тепловых задач).

Исходное дифференциальное уравнение в частных производных (10) вместе с краевыми условиями носит название дифференциальной краевой задачи и представляет собой математическую модель объекта с распределенными параметрами.

Объекты с распределенными параметрами могут быть различной физической природы: механические, гидравлические, тепловые, электрические, магнитные и др.

Механические объекты представляют собой элементы и базовые детали машин и механизмов. При анализе механических объектов находят деформации и напряжения. Они определяют несущую способность конструкций, надежность и нормальные условия функционирования базирующихся на них других элементов объекта.

При проектировании многих технических объектов возникает необходимость анализа теплонапряженного состояния деталей, выбора оптимальных размеров и конфигураций теплообменников и решения многих других задач теплопередачи. В тепловых объектах определению подлежат температурные поля и термические напряжения.

При анализе гидравлических и пневматических систем определяют режимы течения сплошных потоков жидкостей и газов, характеризуемые скоростями и давлениями.