1.5 Параметры математических моделей

В общем случае параметры, описывающие состояние и поведение объекта моделирования, могут быть: входными внутренними , входными внешними и выходными . Таким образом, структуру математической модели можно представить в виде схемы:

Внешняя среда  анализируемая система .

Рассмотрим, например, простейшую аналитическую модель, характеризующую процесс точения с точки зрения действующей силы резания, которая имеет вид известного в теории резания уравнения:

,

(2)

где – удельная сила резания;

– глубина резания;

– подача;

, – показатели степени, выражающие влияние соответствующего параметра на силу резания;

 – коэффициент, зависящий от свойств обрабатываемого материала, инструментального материала и т.д.

Для математической модели (2):

,

,

.

Если векторы внутренних и выходных параметров модели, по обыкновению, можно связать соответственно с независимыми и зависимыми переменными, то понятие вектора внешних (входных) параметров требует особого пояснения. Согласно основным принципам системного подхода, любая система не может существовать обособленно, без взаимосвязи с другими системами, являющимися для нее внешней средой. Так, для модели процесса резания, выраженного уравнением (2), элементами внешней среды являются характеристики обрабатываемого и инструментального материала, жесткость технологической системы, наличие смазочно-охлаждающей жидкости и др. Вообще, на содержание операций и технологических процессов машиностроения оказывают влияние свойства изделия и производственной системы, разнообразные по своей природе: геометрические, физические, химические, технико-экономические и др.

В то же время отнесение параметров к входным или выходным зависит от постановки конкретной задачи. Часто задачу можно переформулировать, сделав ее обратной к исходной, т.е. поменять местами входные и выходные параметры.

По своей природе параметры могут быть как качественными, так и количественными. Для количественной характеристики вводятся числа, выражающие отношения между данным параметром и эталоном. Кроме того, количественные значения параметра могут выражаться дискретными или непрерывными функциями. Для анализа качественных характеристик их часто сводят к количественным, например, методом экспертных оценок.

Случается, что построение модели исследуемого объекта связано с множеством трудно учитываемых факторов. При недостатке информации возможны следующие варианты описания неопределенности параметров:

- детерминированное (отдельному параметру соответствует конкретное число либо функция);

- стохастическое (значения параметров задаются случайными величинами);

- случайное (значения параметров устанавливаются случайными величинами, полученными в результате обработки ограниченной экспериментальной выборки данных);

- интервальное (значения параметров описываются величинами, заданными интервалом от минимально до максимально возможной);

- нечеткое (значения параметров описываются функциями принадлежности соответствующему нечеткому множеству, например, на естественном языке в терминах типа «много больше пяти», «около нуля» и т.п.).

Разделение моделей на одномерные, двухмерные и трехмерные применимо для таких моделей, в число параметров которых входят координаты пространства. Как правило, увеличение размерности модели приводит к росту числа используемых математических соотношений и к повышению сложности вычислений.

Из всей совокупности параметров при разработке различных моделей отдельно следует рассмотреть учет времени. Как и координаты, время обычно относится к независимым переменным. При построении модели важным является сравнение времени существенных изменений внешних воздействий и времени релаксации (от лат. relaxatio – ослабление), определяющего установление равновесия между отдельными элементами внутри объекта и общий переход объекта в некоторое равновесное состояние с окружающей средой. Если скорости изменения внешних воздействий на объект моделирования существенно меньше скорости релаксации, то явной зависимостью от времени в модели можно пренебречь. В этом случае говорят о квазистатическом процессе, который допустимо рассматривать в рамках статической модели. Например, если в процессе непрерывного резания скорость изменения силы, действующей на резец, невелика, то расчет силы можно проводить по статической модели.

Если скорости изменения внешних воздействий и параметров состояния изучаемого объекта достаточно велики (по сравнению со скоростями релаксации), то учет времени необходим. В этом случае объект исследования рассматривают в рамках динамического процесса и соответственно строят динамическую модель.

В случае, когда движения отдельных элементов исследуемого объекта (например, элементов потока жидкости) не зависят от времени, процессы и соответствующие математические модели называют стационарными, в противном случае  нестационарными.

Совокупность значений параметров модели в некоторый момент времени или на данной стадии называется состоянием объекта.