2.16 Системы массового обслуживания

Системами массового обслуживания (СМО) называют такие системы, в которых, с одной стороны, возникают массовые запросы (требования) на выполнение каких-либо услуг, с другой – происходит удовлетворение этих запросов. Математические модели систем массового обслуживания относятся к классу имитационных моделей.

По месту нахождения источника требований СМО делят на разомкнутые (источник требований вне системы) и замкнутые (источник требований в самой системе). Примером разомкнутой системы может служить ремонтная мастерская. Здесь неисправная техника – это источник требований, находящийся вне системы, число требований можно считать неограниченным. К замкнутым СМО относится, например, станочный участок, в котором станки являются источником неисправностей, а следовательно источником требований на их обслуживание, например, бригадой ремонтников.

В зависимости от условий ожидания начала обслуживания различают СМО с потерями (отказами) и СМО с ожиданием. В СМО с отказами требования, поступающие в момент, когда все каналы обслуживания заняты, получают отказ и теряются. Классическим примером системы с отказами является телефонная станция. Если вызываемый абонент занят, то требование на соединение с ним получает отказ и теряется. В СМО с ожиданием требование, застав все обслуживающие каналы занятыми, становится в очередь и ожидает, пока не освободится один из обслуживающих каналов (автозаправочная станция). СМО, допускающие очередь, но с ограниченным числом требований в ней, называются системами с ограниченной длиной очереди.

СМО, допускающие очередь, но с ограниченным сроком пребывания каждого требования в ней, называются системами с ограниченным временем ожидания.

По числу каналов обслуживания СМО делятся на одноканальные и многоканальные.

Время обслуживания, как правило, также является случайной величиной, для него обычно принимают экспоненциальный закон распределения:

(28),

где - параметр распределения. Эта величина обратно пропорциональна среднему времени обслуживания :

. (29)

Показателем загрузки СМО называют отношение:

, (30)

где  математическое ожидание числа требований.

Расчет характеристик СМО различного вида может быть проведен на основе вероятности их состояний с помощью так называемых формул Эрланга. Рассмотрим постановку задачи и порядок расчета характеристик для замкнутой СМО.

Предполагается, что СМО имеет обслуживающих каналов, каждый из которых в данный момент времени может удовлетворять только одно требование. Если в момент поступления очередного требования все каналы оказываются занятыми, то это требование становится в очередь и ждет начала обслуживания. Для замкнутой СМО характерен ограниченный поток требований, т.е. число обслуживаемых объектов не может быть больше некоторого заданного числа .

При условии, что число требований, находящихся в системе, не превосходит числа обслуживающих каналов системы, вероятность того, что занято обслуживающих каналов, определяется по формуле:

. (31)

Вероятность того, что в системе находится требований для случая, когда их число больше обслуживающих каналов:

. (32)

В формулах (31) и (32) вероятность того что все обслуживающие каналы свободны находится из очевидного условия:

, (33)

означающего, что сумма всех вероятностей событий в системе равна единице.

Критериями, характеризующими качество функционирования замкнутой СМО, являются:

1. Коэффициент простоя обслуживаемого объекта

, (34)

характеризующий потери времени из-за ожидания начала обслуживания.

2. Среднее число требований, ожидающих начала обслуживания (средняя длина очереди):

(35)

3. Математическое ожидание числа требований, находящихся в обслуживающей системе, обслуживаемых и ожидающих обслуживания:

. (36)

4. Коэффициент простоя обслуживающего канала

, (37)

характеризующий полноту загрузки обслуживающей системы.

Рассмотрим конкретный пример - обслуживание группы станков.

Предположим, что оператор имеет задание обслуживать группу из трех станков с программным управлением. Поток требований на обслуживание станков подчиняется закону распределения Пуассона (27). с параметром , а время обслуживания подчинено экспоненциальному закону распределения (28). Обслуживание одного станка занимает у оператора в среднем часа. Необходимо определить среднее число станков, ожидающих обслуживания, коэффициент простоя станка, коэффициент простоя оператора.

Обслуживающий канал в этой задаче единственный (им является оператор): . Общее число требований не может превышать число станков, т.е. .

По формуле (29)

По формуле (30) .

Система может находиться в одном из четырех различных состояний, с соответствующими вероятностями (таблица 7).

Таблица 7 – Расчет вероятности состояний СМО

k	Состояние
0	Все станки работают
1	Один станок стоит и обслуживается оператором, а два работают (31)
2	Два станка стоят, один обслуживается, один ждет обслуживания (32)
3	Три станка стоят, из них один обслуживается, а два ждут очереди (33)

Из уравнения (33) найдем вероятность :

,

,

,

откуда , , .

Коэффициент простоя станков из-за ожидания обслуживания найдется по формуле (34):

.

Это означает, что оборудование простаивает в среднем около 16 % времени.

Средняя длина очереди станков, ожидающих обслуживания (35):

,

т.е. в среднем 0,49 станка в данный момент времени простаивают в ожидании обслуживания.

Математическое ожидание числа простаивающих станков, обсуживаемых и ожидающих обслуживания (36):

.

Коэффициент простоя оператора (37) в данном случае совпадает с :

,

т.е. оператор простаивает в среднем около 28 % времени.