2.2 Теоретико-множественные модели
Множество – одно из фундаментальных понятий современной математики [10]. Множеством можно назвать любую совокупность объектов, иными словами, множество позволяет рассматривать некоторую совокупность как единое целое. Математическая теория множеств исходит из того, что с помощью множеств к изучению нечисловых объектов могут быть применены алгебраические методы.
Если
объект
является элементом множества
,
то говорят, что
принадлежит
,
и записывают
,
в противном случае,
не принадлежит
,
или
.
Множество, не содержащее элементов,
называется пустым и обозначается
.
Число упоминаний элементов и порядок
их расположения в множестве не имеет
значения. Множество
,
полностью входящее в множество
,
является его подмножеством, обозначается
или
.
При задании множества перечислением обозначения элементов обычно заключают в фигурные скобки и разделяют запятыми. Например, множество параметров, влияющих на выбор скорости резания при различных методах обработки можно представить в виде:
|
(7) |
,где
– временная стойкость инструмента;
показатель
относительной стойкости;
глубина резания;
скорость движения подачи инструмента;
диаметр обрабатываемой поверхности или диаметр инструмента;
ширина
обрабатываемой поверхности;
удельная скорость резания;
поправочный
коэффициент;
показатели,
зависящие от условий обработки.
Для задания множества с помощью характеристического предиката необходимо условие, выраженное в виде логического утверждения или процедуры. Если для данного элемента условие выполнено, то он принадлежит определяемому множеству, в противном случае – не принадлежит. Пример: определение области адекватности математической модели формулой (5).
Основными операциями, выполняемыми над множествами, являются:
1)
–
пересечение множеств;
2)
–
объединение множеств;
3)
– вычитание множеств.
На рисунке 10 действие основных операций проиллюстрировано на примере множеств точек, принадлежащих трем двумерным областям.
Рисунок 10 – Иллюстрация основных операций над множествами
На рисунке 11 показана геометрическая модель детали и ее отпечаток в матрице пресс-формы, полученный вычитанием множества точек, принадлежащих детали, из множества точек, соответствующих матрице.
Рисунок 11 – Деталь и ее отпечаток в матрице, полученный с помощью операции вычитания для множеств точек
Количественную оценку составляющих элементов множества называют его мощностью. Если множество конечно, то его мощность равна числу его элементов. Например, мощность множества, определенного формулой (7), равна 12. Если мощности двух множеств одинаковы, то между ними можно установить взаимнооднозначное соответствие и наоборот. Таким образом, например, можно пронумеровать элементы множества, поставив в соответствие каждому элементу свой порядковый номер.
Обозначим
упорядоченную пару объектов как
.
Заметим, что для упорядоченной пары
.
Прямым декартовым (топологическим)
произведением двух множеств
и
называется множество упорядоченных
пар, в котором первый элемент каждой
пары принадлежит
,
а второй принадлежит
.
Запишем с помощью характеристического
предиката:
.
Например,
даны два множества
и
.
Декартовым произведением этих множеств
будет множество:
.
Известный пример прямого декартового произведения – множество координат точек на плоскости.
Бинарным
отношением
элементов из множества
в множество
(
)
называется подмножество прямого
декартова произведения
и
:
.
Если
,
то говорят, что
есть отношение на множестве
.
Задание
на исходном множестве отношения
эквивалентности
является одним из ключевых приемов для
применения теоретико-множественных
моделей в инженерной практике. Оно
позволяет классифицировать исследуемые
объекты определенным образом.
Эквивалентность можно воспринимать
как обобщение понятия равенства, как
совпадение элементов только по части
существенных для классификации признаков.
Отношение эквивалентности разбивает
исходное множество на непустые,
непересекающиеся подмножества, каждое
из которых состоит из эквивалентных
между собой элементов и только из них.
Так, при проектировании обобщенных
технологических процессов в пределах
некоторого предприятия [11], конкретную
деталь целесообразно относить к типовому
классу в соответствии с принятым
классификатором (рисунок 12).
Рисунок 12 – Условная классификация (разбиение на подмножества) множества обрабатываемых деталей
Также на анализе бинарных отношений, но уже между отдельными поверхностями детали, основаны известные алгоритмы упорядочения переходов и операций, используемые при автоматизированном проектировании технологических процессов. В частности, задание отношения совместимости между двумя поверхностями говорит о том, что одна из них может быть исходной для получения другой. А отношение предшествования указывает строгий порядок обработки двух совместимых поверхностей. Например, фрезерованию шпоночной канавки должна предшествовать совместимая с ним операция токарной обработки цилиндрической поверхности вала.