2.1.3 Исследование влияния параметров на устойчивость системы.

Исследование проводится методом D – разбиений, и область устойчивости строится в плоскости двух задаваемых параметров системы: постоянная времени объекта управления T_о и коэффициент усиления объекта k_о. Для выполнения исследования необходимо найти характеристический комплекс системы [1]. Для этой цели характеристический полином G(p) системы выражение (9) преобразуется таким образом, что вместо числовых значений исследуемых параметров в него бы вошли их буквенные обозначения(18):

(17)

(18)

Преобразуем характеристический полином в характеристический комплекс подстановкой p=jω в выражение (19) :

(19)

Запишем условия для граничной устойчивости системы:

(20)

Решив систему уравнений граничной устойчивости найдем параметрические уравнения границы области устойчивости.

(21)

При ω=0: K=0, T=∞

Используем условия устойчивости:

с₀=0 и с₂=0, что дает T_о=0 и k_о=0.

Область устойчивости в соответствии с полученными выражениями показана на рис.11.

Рис. 11. Область устойчивости

Область допустимых значений - K_o > 0 и T_o > 0.

Правило штриховки. Для его применения найдем определитель[1]:

(22)

(23)

Таким образом,

Следовательно, определитель положителен для положительных частот и штриховка должна вестись от кривой при движении по ней в сторону возрастания частот.

Для проверки построений на графике нанесем точку (k_о,Т_о) (зависящие от ω). Примем точку А с координатами (2; 2); точка принадлежит полученной области устойчивости, следовательно область устойчивости построена верно.

2.2 Исследование качества системы

2.2.1 Уравнение переходного процесса в системе

Передаточная функция замкнутой системы [2]:

Ф(р) = , (24)

где: А(р) и G(p) – степень полинома от p, тогда дифференциальное уравнение системы в операторной форме будет иметь вид:

G(p)·y(p) = A(p)·x(p), (25)

где: р - оператор дифференцирования; y(p)- выходной сигнал системы; x(t)- входное воздействие.

По графику ЛАХ КП.2068.998-26-12-00.00.000Д1 определяем что для улучшения качества системы необходимо уменьшить частоту среза ω_ср[1]. Для данной системы наиболее удачно подходит пропорциональный регулятор с коэффициентом усиления k_рег – 0,1[2]. Передаточная функция системы примет значение:

W(p) = , (26)

Входным воздействием принимается единичная ступенчатая функция x(t) = 1(t), а выражение G(p) подставим из (25), А(р) принимаем равным К. Тогда уравнение системы(26) примет следующий вид:

(0,05p²+27,9p) *y(t)=27,9(t) (27)

2.2.2 Построение графика переходного процесса

Построение графика переходного процесса (рис.11) в системе по средствам программной среды MathCAD. Для этого требуется решить систему (28). Для решения преобразуем структуру системы к виду, показанному на рис.10 [1].

Рис.12. Преобразованная структура системы

Новой структуре соответствует система уравнений [1]:

(28)

Первое уравнение является дифференциальным, второе – алгебраическим, так как содержит производные, находимые из первого уравнения.

Для построения графика переходного процесса (рис. 11) необходимо решить дифференциальное уравнение:

(29)

При численном решении дифференциального уравнения n-го порядка преобразуем в систему из n уравнений первого порядка [1].

z(t)=z₁(t), z^’(t)=z₂(t). (30)

В результате подстановки выражения (30) в (28) можно записать систему уравнений следующего вида:

(31)

Решив систему (31) определим:

y(t) = 26,9z₁(t) (32)

Для решение системы в MathCAD необходимо указать следующие параметры:

Исходное уравнение:

(33)

Решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта:

(34) где: - начальные условия.

n – 2000 число точек решения; tk = 200 конечное время решения; D – исходное уравнение.

Конечный результат для вычисления переходного процесса.

(35)

Представим найденные значение в таблице 2.

Расчет точек для графика переходного процесса представим в таблице 4.

Таблица 2 Расчет точек переходного процесса

Таблица 3 Расчет точек для графика переходного процесса

Рис. 13. График переходного процесса системы