- •1. Простір елементарних подій. Випадкові події, операції над ними.
- •2. Частотне та класичне означення ймовірності
- •3. Імовірності в дискретних просторах елементарних подій.
- •4.Геометричне означення ймовірності.Парадокс Бертрана.Задача Бюффона
- •5. Аксіоматичне означення імовірності. Властивості імовірностей
- •6.Умовні ймовірності.Приклади
- •7.Формула повної імовірності та формула Байєса.
- •8.Незалежні події
- •9. Дискретні випадкові величини. Їх характеристики.
- •11. Дисперсія випадкових величин. Властивості.
- •12. Коефіцієнт кореляції випадкових величин
- •14. Схема Бернулі. Локальна теорема Муавра-Лапласа
- •16. Функція розподілу, щільність випадкових величин.
- •17. Рівномірний, показниковий та нормальний розподіли, їх характеристики.
- •18. Функції від неперервних випадкових величин
- •19. Багатовимірні розподіли.
- •20. Нерівність Чебишева
- •21. Типи збіжності випадкових величин
- •22. Генератриси, їх властивості.
- •24. Перша теорема Хелі
- •25. Друга Теорема Хеллі
- •26. Теорема неперервності
- •27. Теорема Пуассона
- •28. Закон великих чисел
- •29. Закон великих чисел. Теореми Чебишева та Маркова.
- •32. Дискретні ланцюги Маркова. Матриця перехідних ймовірностей.
- •Називається Ланцюгом Маркова
- •Рівність Чепмена-Колмогорова
- •33. Класифікація станів дискретного ланцюга Маркова
- •34. Рекурентні ланцюги Маркова.
- •36. Поняття випадкового процессу. Скінченновимірні розподіли випадкових процесів.
- •37. Процеси з незалежними приростами
- •38. Вінерівський процес (процес броунівського руху):
- •39.Пуассонівський процес
- •40. Процеси відновлення. Функція відновлення
- •42. Гіллясті процеси
- •43. Ланцюги Маркова з неперервним часом. Класифікація станів
- •44. Система диференціальних рівнянь Колмогорова для ланцюгів Маркова з неперервним часом.
3. Імовірності в дискретних просторах елементарних подій.
Означення Простір Ω елементарних подій називається дискретним, якщо множина Ω скінченна або злічена.
Нехай Ω = {ω1, ω2 , … , ωn, …} дискретний простір елементарних подій. Припустімо, що кожній елементарній події ωk можна поставити у відповідність невід’ємне число pk (ймовірність ωk ), причому .
Якщо А - випадкова подія ( ), то , де р(А) - називається ймовірністю події А.
Мають місце властивості:
(позитивність)
, якщо А та В несумісні (адитивність)
P(Ω) = 1
Таким чином, ймовірність будь-якої події A лежить у межах: .
Нехай простір Ω складається з n елементарних рівно можливих подій (pk=1/n, k=1,…,n), а до складу А входять m з цих подій. Тоді P=m/n-класичне означення ймовірності.
4.Геометричне означення ймовірності.Парадокс Бертрана.Задача Бюффона
Геометрична ймовірність – це поняття ймовірності,що запроваджується так: Нехай Ω - деяка підмножина прямої, площини чи простору. Випадкова подія A - підмножина Ω. Тоді ймовірність випадкової події визначається формулою: де - довжина, площа чи об’єм множин A та Ω.
Це пов'язане з інтерпретацією ймовірності як міри на обраному просторі елементарних подій. В даному випадку він збігається з eвклідовим простором.
Парадокс Бертрана це задача в класичному означенні ймовірності. Джозеф Бертран вперше описав її вяк приклад того, що ймовірність не може бути чітко означена, поки чітко не описаний механізм отримання випадковостей.
Для деякого кола випадковим чином обирається хорда. Знайти ймовірність того, що ця хорда довша за сторони правильного трикутника, вписаного в це коло. (Варіанти - довша за радіус, або знайтиматсподівання її довжини). Парадокс стверджує що ця ймовірність визначається неоднозначно в залежності від методу.
Метод перший.Випадковим шляхом (рівномірно) в даному крузі обирається точка. Ця випадкова точка визначає єдину хорду, серединою якої вона є. Ця хорда довша за сторони нашого вписаного правильного трикутника тоді і тільки тоді, коли її середина лежить всередині кола, вписаного в трикутник. Радіус цього кола дорівнює половині радіуса вихідного кола, отже площа його складає 1/4 площі вихідного. Таким чином, ймовірність того, що випадково обрана точка лежить всередині вписаного кола, дорівнює 1/4. Так що цей метод дає відповідь ¼.
Метод другий.Виходячи з міркувань симетрії, можна вважати, що одним кінцем хорди є фіксована точка на колі. Нехай цією точкою є вершина вписаного трикутника. Оберемо другий кінець випадково з рівномірним розподілом. Вершини трикутника ділять коло на три рівні дуги, і випадкова хорда довша за сторони правильного трикутника, якщо вона перетинає цей трикутник. Так що шукана ймовірність тепер дорівнює ⅓.
Третій метод.Оберемо точку випадковим чином рівномірно на радіусі кола і візьмемо хорду, яка перпендикулярна цьому радіусу і проходить через обрану точку. Тоді випадкова хорда довша за сторони вписаного правильного трикутника, якщо випадкова точка лежить на тій половині радіусу, який ближчий до центра. Виходячи з міркувань симетрії, неважливо який радіус був обраний для побудови, тому шукана ймовірність дорівнює ½.
Задача Бюффона використовується для статистичного обчислення числа Пі.Площина розграфлена паралельними прямими, які знаходяться на відстані 2a одна від одної. На площину навмання кидають голку завдовжки 2l (2l < 2a). Знайти ймовірність того, що голка перетне одну з прямих.
Зрозуміємо, що означає тут “навмання кинута голка”. Усі можливі положення голки (відрізки) на площині повністю визначаються положенням середини голки і кутом повороту голки відносно якого-небудь напряму. Причому дві ці змінні (положення центру і кут повороту) міняються незалежно один від одного
Позначимо через x ∈[0, a] відстань від середини голки до найближчої прямої, а через ϕ ∈[0,π ] — кут між якимсь напрямом прямих і голкою. Множина положень голки цілком визначається вибором навмання точки з прямокутника Ω = [0,π ]×[0,a].Голка пересікає найближчу пряму, якщо координати вибраної навмання точки задовольняють нерівності: x < l ⋅sinϕ .
Площа області A ⊂ Ω , точки якої задовольняють такій нерівності, рівна
Оскільки μ(Ω) = a ⋅π , то шукана ймовірність дорівнює