- •1. Простір елементарних подій. Випадкові події, операції над ними.
- •2. Частотне та класичне означення ймовірності
- •3. Імовірності в дискретних просторах елементарних подій.
- •4.Геометричне означення ймовірності.Парадокс Бертрана.Задача Бюффона
- •5. Аксіоматичне означення імовірності. Властивості імовірностей
- •6.Умовні ймовірності.Приклади
- •7.Формула повної імовірності та формула Байєса.
- •8.Незалежні події
- •9. Дискретні випадкові величини. Їх характеристики.
- •11. Дисперсія випадкових величин. Властивості.
- •12. Коефіцієнт кореляції випадкових величин
- •14. Схема Бернулі. Локальна теорема Муавра-Лапласа
- •16. Функція розподілу, щільність випадкових величин.
- •17. Рівномірний, показниковий та нормальний розподіли, їх характеристики.
- •18. Функції від неперервних випадкових величин
- •19. Багатовимірні розподіли.
- •20. Нерівність Чебишева
- •21. Типи збіжності випадкових величин
- •22. Генератриси, їх властивості.
- •24. Перша теорема Хелі
- •25. Друга Теорема Хеллі
- •26. Теорема неперервності
- •27. Теорема Пуассона
- •28. Закон великих чисел
- •29. Закон великих чисел. Теореми Чебишева та Маркова.
- •32. Дискретні ланцюги Маркова. Матриця перехідних ймовірностей.
- •Називається Ланцюгом Маркова
- •Рівність Чепмена-Колмогорова
- •33. Класифікація станів дискретного ланцюга Маркова
- •34. Рекурентні ланцюги Маркова.
- •36. Поняття випадкового процессу. Скінченновимірні розподіли випадкових процесів.
- •37. Процеси з незалежними приростами
- •38. Вінерівський процес (процес броунівського руху):
- •39.Пуассонівський процес
- •40. Процеси відновлення. Функція відновлення
- •42. Гіллясті процеси
- •43. Ланцюги Маркова з неперервним часом. Класифікація станів
- •44. Система диференціальних рівнянь Колмогорова для ланцюгів Маркова з неперервним часом.
20. Нерівність Чебишева
Нерівність Чебишова — результат теорії ймовірностей, який стверджує, що для будь-якої випадкової змінної із скінченною дисперсією майже всі значення концентруються біля значення математичного сподівання. Нерівність Чебишова дає кількісні характеристики цієї властивості.
Теорема:
Нехай існує величина із математичним сподіванням і дисперсією . виконується нерівність
Доведення:
Звідси , отже
Наслідок нерівності Чебишева(правило 3-х ксі):
Модифікації нерівностей Чебишева:
При k=1 при . Це найпростіша модифікація.
21. Типи збіжності випадкових величин
Озн1.: ξ1, ξ2, … , ξn – слабо збігаються до випадкової величини ξ (позн: ξn => ξ), якщо відповідна функція розподілу F1(x), F2(x)… збігається до ф-ції розподілу Fξ(x) у всіх точках непрерервності F(x)
Озн2.:Послідовність випадкових величин ξ1, ξ2, … , ξn збігається за ймовірностю (позн ) до випадкової величини ξ, якщо для будь-якого ε>0
Озн3.:Послідовність ξ1, ξ2, … , ξn збігається до ξ при n->+∞ в середньоквадратичному (позн ), якщо
О
(*)
const
(*) за нерівністю Чебишева:
Const: якщо ξn=>const
22. Генератриси, їх властивості.
приймає цілі невід’ємні значення.
P( =k)=pk. , k=0, 1, 2…
Генератриса:
A(s)=Msксі= k pk. |s|<=1
1) A(1)= pk =1
2)|A(s)|<=1, |A(s)|<= pk <= pk =1.
3)A’(1)<=M
A’(s)= * pk |s=1 = pk = M
4)A”(1)= pk = pk - pk =M 2 - M
D = M 2 – (M )2=A’’(1)+A’(1) – (A’(1))2.
5)A(0) = p0=p( =0).
6) і – незалежні події. Aксі+ета(s)=Aксі(s) * Aета(s).
Aксі+ета(s)=Msксі+ета = Msксі *sета = Msксі*Msета = Aксі(s)*Aета(s).
pk A(s) – бієкція (кожному розподілу відповідає своя генератриса, кожній генератрисі – свій розподіл)
pk = . A(s) = k* = = = .
Aксі+ета(s)=A(s) ксі *A ета(s) = * = .
24. Перша теорема Хелі
Лема: Для того, щоб послідовність F1(x), F2(x)…Fn(x) слабо збігалась до достатньо збіжності цієї послідовності на всюди щільній множині D. D – яку б точку із R ми не взяли, якмй би окіл (x- ,x+ ) не взяли, точка d завжди буде потрапляти в D.
Доведення: х – точка неперервності F(x). D={x1,x2…} ,x1<=x<=x2
Fn(x1)<=Fn(x)<=Fn(x2)
lim Fn(x)<=Fn(x)
x1->x-0; x2->x+0
1 теорема Хелля
З будь-якої послідовності функцій розпроділу F1(x), F2(x)…Fn(x) можна виділити підпослідовність, яка буде слабо збігатися до деякої функції F(x).
D={x1,x2…}
F1(x1), F2(x1)…Fn(x1)
F1n(x1)F(x1) n∞
F11(x2), F12(x2)…F1n(x2)
F2n(x2)F(x2)
Fkn(x2)F(x2)
Діагональна процедура
F11(x), F22(x)…Fkk(x)
Fnn(x)F(x)
25. Друга Теорема Хеллі
Нехай f(x) неперервна на [a,b] ,f(x) є С[a,b] якщо Fn(x) F(x) х-точка неперервності
тоді
Доведення: f(x),(a,b)
Оскільки, , , та в силу збіжності Fn(x) F(x), де x0,x1…xN – точки неперервності.
При достатньо великих n буде виконуватись ,
а отже і ,де М – максимум модуля f(x)
Отже,
Третя теорема Хеллі
Якщо f(x)- неперервна на і Fn(x) F(x)
то