- •1. Простір елементарних подій. Випадкові події, операції над ними.
- •2. Частотне та класичне означення ймовірності
- •3. Імовірності в дискретних просторах елементарних подій.
- •4.Геометричне означення ймовірності.Парадокс Бертрана.Задача Бюффона
- •5. Аксіоматичне означення імовірності. Властивості імовірностей
- •6.Умовні ймовірності.Приклади
- •7.Формула повної імовірності та формула Байєса.
- •8.Незалежні події
- •9. Дискретні випадкові величини. Їх характеристики.
- •11. Дисперсія випадкових величин. Властивості.
- •12. Коефіцієнт кореляції випадкових величин
- •14. Схема Бернулі. Локальна теорема Муавра-Лапласа
- •16. Функція розподілу, щільність випадкових величин.
- •17. Рівномірний, показниковий та нормальний розподіли, їх характеристики.
- •18. Функції від неперервних випадкових величин
- •19. Багатовимірні розподіли.
- •20. Нерівність Чебишева
- •21. Типи збіжності випадкових величин
- •22. Генератриси, їх властивості.
- •24. Перша теорема Хелі
- •25. Друга Теорема Хеллі
- •26. Теорема неперервності
- •27. Теорема Пуассона
- •28. Закон великих чисел
- •29. Закон великих чисел. Теореми Чебишева та Маркова.
- •32. Дискретні ланцюги Маркова. Матриця перехідних ймовірностей.
- •Називається Ланцюгом Маркова
- •Рівність Чепмена-Колмогорова
- •33. Класифікація станів дискретного ланцюга Маркова
- •34. Рекурентні ланцюги Маркова.
- •36. Поняття випадкового процессу. Скінченновимірні розподіли випадкових процесів.
- •37. Процеси з незалежними приростами
- •38. Вінерівський процес (процес броунівського руху):
- •39.Пуассонівський процес
- •40. Процеси відновлення. Функція відновлення
- •42. Гіллясті процеси
- •43. Ланцюги Маркова з неперервним часом. Класифікація станів
- •44. Система диференціальних рівнянь Колмогорова для ланцюгів Маркова з неперервним часом.
9. Дискретні випадкові величини. Їх характеристики.
Нехай (Ω, ζ, Р) — ймовірнісний простір. Дискретною
випадковою величиною називається функція ξ(w) на Ω, яка набуває скінченне або зліченне число значень x1, x2..., xn, ... і є вимірною.
Розподіл дискретної випадкової величини. Нехай ξ(w) — дискретна випадкова величина, яка набуває значення x1, ..., x i,....
Набір чисел P{w: ξ (w)=xi}=pi (i=1, 2,....) називають розподілом випадкової величини ξ. pi≥0,
= 1.
Часто розподіл випадкової величини подають у вигляді таблиці, в якій
перераховуються значення випадкової величини разом з відповідними ймовірностями:
Значення |
x1 |
… |
xi |
… |
Ймовірність |
p1 |
… |
pi |
… |
Функція розподілу випадкової величини ξ(w) визначається рівністю:
P{w: ξ(w)<x}=
Сумісний розподіл випадкових величин. Нехай ξ(w) — дискретна величина, що набуває значень x1, x2, …, xi, …, η(w) — дискретна величина, що набуває значень y1, y2, …, yj, ….
Набір чисел P{w : ξ(w) = xi, η (w) = yj }=pij, (i =1,2…;j = 1,2…) називається сумісним розподілом випадкових величин ξ та η. Справджуються такі твердження:
а) pij≥0 , = 1
б) = pi, =qj , де {рi} — розподіл ξ(w), {qj} — розподіл η(w).
Незалежні випадкові величини. Випадкові величини ξ та η називаються незалежними, якщо для будь-яких i та j
P{ ξ(w) = xi , η(w) = yj } = P{ξ(w) = xi } P{η(w) = yj }.
11. Дисперсія випадкових величин. Властивості.
Дисперсією випадкової величини називається математичне сподівання квадрата відхилення цієї величини. Дисперсія характеризує розсіювання випадкової величини відносно свого математичного сподівання.
або
Доведення:
Для дискретної випадкової величини дисперсія:
Для неперервної:
Якщо [а; b], то
Властивості дисперсії
1.
2. Якщо С — стала величина, то
.
3. Якщо і - незалежні випадкові величини, то
12. Коефіцієнт кореляції випадкових величин
Коефіцієнт кореляції – міра залежності випадкових величин.
1. і - незалежні, ρ=0. 2. | ρ |≤1.
Доведення: = - стандартизована випадкова величина
, .
, .
або .
3. | |=1
=1, a>0; =-1, a<0
a)
б) ,
, ,
| | 1 – тим сильніша залежність >1 – позитивний звязок (залежність) <0 -
Зауваження: з того, що ρ=0 не впливає незалежність випадкових величин.)
13.Біноміальний, геометричний та Пуассонівський розподіли. Їх характеристика.
1) Біноміальний розподіл. (Схема Бернулі)
n- нехалежних розподілів
2 результати: - успіх(У) p
-невдача(Н) q
q=1-p p+q=1
- загальна к-сть усіх успіхів; є{0,1,2,…,n}
k- У; (n-k) – Н;
; ;
2) Геометричний розподіл.
У – к-сть експериментів, що проводяться до першого успіху
Н – к-сть невдач
3) Пуассонівський розподіл.
14. Схема Бернулі. Локальна теорема Муавра-Лапласа
1)Схема Бернулі(Біноміальний розподіл)
n – кількість незалежних випробувань
У – успіх. p 0≤p≤1
Н – невдача. q=1-p p+q=1
ξ – загальна кількість успіхів в n-експериментах
ξ є{0,1,2…n}
математичне сподівання
Дисперсія
Формули:
2) Локальна теорема Муавра-Лапласа
Доведення
Ф-ла Стірлінга:
x≤C<+∞
1.
2.
15. Загальне означення випадкової величини
Нехай — ймовірнісний простір. Випадковою величиною називається функція (w) на , яка вимірна відносно -алгебри , тобто така функція, коли при кожному дійсному x
{w : (w) < x} .
Функцією розподілу випадкової величини (w) називається функція
F(x ) = P{w : (w) < x}.
Функція розподілу F(х) має властивості: а) неперервна зліва; б) неcпадна на ; в) F( ) =0, F ( ) = 1.
Для кожної функції F (x), що має ці властивості, можна побудувати ймовірнісний простір
і випадкову величину (w) на ньому, яка має функцією розподілу F(х).
Якщо F (х) — функція розподілу випадкової величини , то
P{a<=x<b}=F(b)–F(a), (a < b).