Рівність Чепмена-Колмогорова

33. Класифікація станів дискретного ланцюга Маркова

К1: Стан ієЕ назив. неістотним, якщо стан j та n є Z, P_ij(n)>0, але p_ij(m)=0 (назад не вертається), в протилежному випадку стан істотний.

Е=Е₀(істот) Е₁(неістот)

К2: два істотних стани i,j є Е₀, називаються істотні стани, що сполучаються i j, якщо n, s P_ij(n)>0, P_ij(s)>0.

- відношення на множині цілих чисел; відношення буде задовільним, якщо викон-ся 3 властивості:

1) рефлективність: i j

2) симетричність: i j j i

3) транзитивність: якщо i k, a k j, то j i

Якщо відношення задовольняють умови 1,2,3 то таке відношення називається відношенням еквівалентності.

Теорема

Відношення еквівалентності розбиває Е на перетинаючи класи еквівалентності Е₀= Е_0і, r>=1.

E=E₀₁ – неістотний ланцюг,якщо r=1, E₁= .

Приклади

P= ( )

Е₁={1,3}, E₀={2,4}

E₀={1,2,3,4}; E₀₁={1,2}; E₀₂={3,4}

K3: істотний стан ієЕ₀ має період d, d=НСД(={n;p_ii>0}

Якщо i(стрілка сам в себе),то d=1, стан неперіодичний

К4: істотний стан і називається рекурентним, якщо , і нерекурентним, якщо . f_i(n) – ймовірність І раз повернутися в стан і на n-ому кроці. f_i(n)=P{ =i, }

Якщо множина станів Е скінчена, то будь-який істотний стан – рекурентний.

34. Рекурентні ланцюги Маркова.

Істотний стан і однорідного ланцюга Маркова називається рекурентним, якщо і не рекурентним, якщо , де - ймовірність перший раз повернутися в і на 1-му кроці.

Якщо множина станів Е – скінчена, то істотний стан – рекурентний.

Теор. Істотний стан рекурентний тоді, коли

Довед.

36. Поняття випадкового процессу. Скінченновимірні розподіли випадкових процесів.

Випадковий процес ξ(t) , tЄT (T={1,2…,n}) – параметричне сімейство випадкових величин. I=[0;∞], ξ(t), t≥0.

Cімейство функцій скінченно вимірного розподілу:

F_t1,t2,…,tn (A₁,A₂,…,A_n) = P(ξ(t₁)Є A₁ , ξ(t₂)Є A₂ ,…,ξ(t_n)Є A_n ).

t₁ , t₂ ,…, t_n Є[0;∞], A₁,A₂,…,A_n Є F_x

Ці функції задовольняють умовам узгодженості скінченновимірних розподілів:

1. F_t1,t2,…,tn (A₁,A₂,…,A_n-1,x)= F_{t1,t2,…,tn-1} (A₁,A₂,…,A_n-1)

2. F_{t1,t2,t3,…,tn} (A₁,A₂,…,A_n)= F_{t2,t1,t3,…,tn} (A₂,A₁, A₃…,A_n)

Теорема Колмогорова

Для будь-якого набору скінченновимірного розподілу, який задовольняє умові узгодженості,існує ймовірностний простір (Ω, F , Р), на якому заданий ξ(t), для яког йя система буде скінченновимірним розподілом.

Типи випадкових процесів

• ПНЗ(процеси з незал. значеннями)

F_t1,t2,…,tn (A₁,A₂,…,A_n)= F_t1(A₁) F_t2(A₂)… F_tn(A_n)

F_t(A)=P(ξ(A) ЄA)

• ПНП(Процес з незал. приростами)

t₁< t₂<… t_n

Якщо ξ(t1), ξ(t2)- ξ(t1), ξ(t3)- ξ(t2),…, ξ(tn)- ξ(tn-1) прирости процесу незалежні, то

F_t(A)=P(ξ(t) ЄA)

F_s,t(B)=P(ξ(t)- ξ(s))ЄB

ξ(t_n)=( ξ(t_n)- ξ(t_n-1))+( ξ(t_n-1)- ξ(t_n-2))…+(ξ(t₂)- ξ(t₁))+ ξ(t1)

• ОПНП(однорідні процеси з незал. приростами)

F_s,t(B)=F_t-s(B)

ξ(t)- ξ(S) ξ(t+1)- ξ(S+1) ξ(t-S)- ξ(0)=0

φ_t(λ)=Me^iλξ(t) = e^tk(λ)

k(λ) – кумулянта

k(λ) = iλa – t²σ²/2 + e^iλx – 1 – ) dG(x), G(0)=0