28.Множина невід'ємних чисел. Теоретико-множинний смисл кількісного натурального числа і нуля.

Множина натуральних чисел N строго визначається за допомогою аксіом Пеано.

Джузеппе Пеано (1858-1932) - італійський математик, якому, крім фор­мулювання аксіом натуральних чисел, належать загальна теорема про існуван­ня розв'язку диференціального рівняння, результати з обґрунтування геометрії. Вперше побудував неперервну криву, що заповнює квадрат.

1. Існує натуральне число 1, яке не є наступним ні за яким натуральним числом (натуральний ряд починається з 1).

2. Кожне натуральне число следує тільки за одним і тілько одним натуральним числом (у натуральному ряді немає повторень).

3. За кожним натуральним числом слідує одне і тільки одне натуральне число (натуральный ряд нескінчений).

4. Аксіома індукції. Нехай М Ì N. Якщо:

1)  1 Î М; (початковий елемент належить підмножині натуральних чисел)

2) Для будь-якого елемента а Î М множині М належить і наступний за а элемент а¹, тоді множина М співпадає з множиною натуральних чисел.

Таким чином, множина  N = { 1, 2, 3, 4,...}.

Натуральними числами називаються числа, які використовуються при лічбі предметів.

А що являє собою процес лічби? Нехай нам задано множину А = {a, b, c, d}. Вказуючи на кожни й елемент цієї множини, говоримо: “перший”, “другий”, “третій”, “четвертий”. І на цьому процес лічби закінчується, оскільки використали всі елементи множини А. Ведучи лічбу, дотримуємося ряду правил: першим при лічбі може бути вказаний будь-який елемент множини А, але не один елемент не повинен бути пропущеним або порахованим двічі. Полічивши елементи множини А (чотири елементи), отримуємо кількісну характеристику цієї множини. Але щоб її отримати, використовували порядкові натуральні числа “перший”, “другий”, “третій”, “четвертий”. Іншими словами, використали множину {1, 2, 3 і 4}, яку називають відрізком натурального ряду.

Означення. Відрізком натурального ряду називається множина натуральних чисел, що не перевищує натурального числа а.

Наприклад: Відрізок - множина натуральних чисел, що не перевищують числа 7, тобто .

В процесі лічби предметів множини А = {a, b, c, d} кожному елементу множини А було поставлене число із відрізка , тобто було встановлено взаємно однозначну відповідність між множиною А і відрізком натурального ряду.

Означення. Лічбою елементів множини А називається встановлення взаємно однозначної відповідності між множиною А і відрізком натурального ряду .

Число а називають числом елементів у множині А і пишуть: .

Тісний зв’язок порядкового і кількісного числа знайшов відображення і в початковому навчанні математики. Відповідь на питання: “Скільки предметів містить дана множина? – виражається кількісним натуральним числом, а порядкове вказує, яке місце при лічбі займає той чи інший предмет, і відповідає на питання: ”Котрим при лічбі буде даний предмет?”.

Зміст кількісного числа можна трактувати з теоретико-множинних позицій.

Візьмемо певну скінчену множину А і відберемо в один клас всі рівнопотужні їй множини. Якщо, наприклад, А – множина вершин трикутника, то в один клас з нею попадуть множини сторін трикутника, літер у слові “мир” тощо. Якщо візьмемо іншу множину, наприклад В – множина кольорів веселки, то в один клас з нею попадуть всі рівнопотужні їй множини – днів тижня, чудес світу тощо.

Продовжуючи процес, кожна скінчена множина опиниться в деякому класі еквівалентності, причому, будь-які дві множини одного класу – рівнопотужні , а з різних класів – нерівнопотужні. Всі множини одного класу мають спільну властивість – однакову кількість елементів, яка є натуральним числом. Наприклад, спільна властивість множин, рівнопотужних множині А – число 3, а множині В – 7.

З точки зору теоретико – множинного підходу кількісне натуральне число є спільною властивістю класу скінчених рівнопотужних множин.

Число нуль ставиться у відповідність порожній множині: 0 = n ( 0 ).