- •1. Математика як наука і як навчальний предмет. Історія розвитку математики. Роль математичних знань, умінь і навичок
- •2. Математичні поняття і математичні речення.
- •3. Означення та їх структура.
- •4.Висловлення і висловлювальна форма.
- •5. Квантори.
- •6. Правила побудови заперечень висловлень, що містять квантори.
- •9. Дедуктивне міркування.
- •10. Найпростіші схеми дедуктивних міркувань. Неповна індукція.
- •13.Поняття множини.Способизадання множин.
- •14.Відношення міжмножинами.КругиЕйлера.Операції над множинами.Доповненняпідмножини.
- •17. Відношенння і їх властивості.
- •18.Відношення еквівалентності.Відношення порядку.
- •19. Поняття відповідності. Відповідність обернена даній.
- •20. Взаємооднозначні відповідності. Рівнопотужні відповідності.
- •21. Натуральні числа та їх властивості. Число нуль.
- •22.Додавання цілих невід'ємних чисел. Основні властивості додавання. Закони додавання.
- •23. Віднімання цілих невід'ємних чисел та його властивості.
- •24. Множина цілих невід'ємних чисел. Закони множення.
- •25.Ділення цілих невід’ємних чисел та його властивості.
- •26.Правила ділення суми на число і числа на добуток та їх властивості.
- •28.Множина невід'ємних чисел. Теоретико-множинний смисл кількісного натурального числа і нуля.
- •29. Смисл натурального числа і дій над числами - результатами виміру величин
- •30. Позиційні та непозиційні системи числення. Аксіоматика Пеаноє
- •31. Запис чисел в десятковій системі числення.
- •32. Виконання дій з многозначними (багатозначними) числами.
- •34. Ознаки подільності суми, різниці, добутку
- •35. Ознаки подільності в десятковій системі
- •36. Найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне
- •37. Ознаки подільності на складені числа
- •38. Алгоритми Евкліда
- •39. Комбінаторика
- •40 Основні поняття теорії імовірностей
- •41. Об'єми многогранників та тіл обертання
- •42. Поверхня многогранників та тіл обертання
2. Математичні поняття і математичні речення.
Об'єкти реальної дійсності володіють: а) єдиними властивостями, що виражають його відмітні властивості (наприклад, рівняння третього ступеня з однією змінною - кубічну рівняння), б) загальними властивостями, які можуть бути відмінними, якщо виражають суттєві властивості об'єкта (його ознаки), що виділяють його з безлічі інших об'єктів. Термін "поняття" використовується для позначення уявної образу деякого класу об'єктів, процесів. Психологи виділяють три форми мислення: 1) поняттями (наприклад, медіана - відрізок, що з'єднує вершину з протилежною стороною трикутника); 2) судженнями (наприклад, для кутів довільного трикутника справедливо: ); 3) умовиводами (наприклад, якщо a> b і b> c, то a> c). Характерними для форми мислення поняттями є: а) це продукт високоорганізованої матерії, б) відображає матеріальний світ, в) постає в пізнанні як засіб узагальнення; г) означає специфічно людську діяльність; д) його формування у свідомості невіддільне від його вираження за допомогою мови, записи або символу. Математичне поняття відображає в нашому мисленні певні форми і відношення дійсності, абстраговані від реальних ситуацій.
Кожне поняття об'єднує безліч об'єктів або відносин, зване об'ємом поняття, а характеристичні властивості, притаманні всім елементам цієї множини і тільки їм, що виражають зміст поняття. Наприклад, математичне поняття - чотирикутник. Його об'єм: квадрат, прямокутник, паралелограм, ромб, трапеція і т.д. Зміст: 4 сторони, 4 кута, 4 вершини (характеристичні властивості). Зміст поняття жорстко визначає його обсяг і, навпаки, обсяг поняття цілком визначає його зміст. Перехід від плотського ступеня до логічної відбувається за допомогою узагальнення: або через виділення загальних ознак об'єкта (паралелограм - чотирикутник - багатокутник); або через загальні ознаки в поєднанні з особливими або одиничними, яке призводить до конкретного поняття. У процесі узагальнення обсяг розширюється, а зміст звужується. У процесі спеціалізації поняття обсяг звужується, я зміст розширюється.
Якщо обсяг одного поняття міститься в обсязі іншого поняття, то друге поняття називається родовим, по відношенню до першого; а перше називається видовим по відношенню до другого.
Пізнаючи навколишній світ людина встановлює різноманітні взаємозв’язки між об’єктами, між об’єктами та їх властивостями. У математичній мові ці зв’язки виражаються за допомогою речень. Речення утворюються із понять. Кожне математичне речення характеризується змістом і логічною структурою.
В математиці розрізняють елементарні (прості) і складені речення, складені речення складаються з елементарних. Для елементарних речень його істинність визначається по змісту.
Просте речення: число 28 – парне – І (істинне)
Складене речення: 28 число парне і ділиться на 7 – І.
Число 13 ділиться на 4 – Х (хибне).
Складені речення утворюються із простих за допомогою слів «і», «або», «не». Ці слова називаються логічними зв’язками. Встановити логічну структуру речення означає:
З яких елементарних речень утворене дане складене речення;
За допомогою яких логічних зв’язків воно утворене