Параллельные проекции

Параллельные проекции разделяются на два типа, в зависимости от соотношения между направлениями проецирования и нормалью к проецированной плоскости. В ортографических параллельных проекциях эти два направления совпадают. В косоугольных параллельных проекциях они не совпадают. Наиболее широко используемыми видами ортографических проекций являются: вид спереди, вид слева, вид справа, вид сверху, в которых картинная плоскость перпендикулярна главным координатным осям, совпадающими с направлением проецирования. Косоугольные проекции сочетают в себе свойства ортографических проекций и аксонометрических. В этом случае проекционная плоскость перпендикулярна одной оси, а направление проецирования не перпендикулярно картинной плоскости.

 

Касательные и нормали к кривым

Касательная к кривой Y=f(X) в точке Р(X,Y) определяется уравнением Y=Y1+f’(X1)(X-X1), где f’(X1) - значение производной df / dX в точке X=X1.

Если рассматриваемая кривая имеет в точке Р вертикальную или почти вертикаль-ную касательную, определение касательной в данной точке при помощи этой формулы невозможно или затруднительно. Затруднения данного рода легко преодолеваются, если для описания кривой используется неявное уравнение g(X,Y)=0. Тогда неявное уравнение касательной будет иметь вид

gx(X1,Y1)(X-X1)+gy(X1,Y1)(Y-Y1)=0,

где gx и gy - значения производных dg/dX и dg/dY. Пример :

Касательная к окружности X2+Y2-1=0 в точке определяется по формулам g(X,Y)= X2+Y2-1 ->gx=2X, gy=2Y ->gx(1,0)=2,gy(1,0)=0. Уравнение касательной имеет вид 2(X-1)+0(Y-0)=0, касательная является верти-кальной линией X=1. Отметим, что если окружность или касательная записана в явном виде, результат получить невозмож-но. Для нормали, восстановленной в точке Р, явным уравнением является Y=Y1-(X-1)/f’(X1) . Это уравнение непригодно для случая когда нормаль горизонтальна в точке Р. Соответствующее уравнение неявного вида записывается как: gy(X-X1)-gx(Y-Y1)=0. Это уравнение обеспечивает определение нормали в тех случаях, когда применение явно-го уравнения невозможно или затруднительно.

Кривизна

Радиус кривизны R кривой Y=Y(X) определяется известной формулой

Так как R бесконечен в точках перегиба кривой, удобнее пользоваться самой кривизной H=1/R, поскольку это величина конечная, если нет заострений на кривой:

Соответствующая формула в параметрическом виде кривой X=X(t), Y=Y(t).

В неявном виде f(X;Y)=0

Вывод последних двух формул рекомендуется выполнить самостоятельно.

Вращения вокруг произвольного центра

Осуществляется поворот вокруг точки с координатами X = m, Y = n на угол 0(тетта) против часовой стрелки.

Преобразования выполняется как последовательность трех преобразований :

1. Сдвиг центра вращения в начало координат.

2. Поворот на угол 0 вокруг начала координат.

3. Сдвиг центра вращения в исходное положение.

Матрицы аффинных преобразований не зависят от преобразуемых точек. Результирующее преобразование записывается в виде: