Уравнение прямой линии

Явное уравнение прямой линии имеет вид Y=mX+с, где m - тангенс угла наклона; c - точка пересечения с осью Y.

Это явное уравнение для Y позволяет вычислить Y при любом значении Х. Однако у этого уравнения есть один недостаток: с его помощью нельзя описать вертикальные прямые, например X=1. Если прямая проходит через две заданные точки (Х1;Y1) и (Х2;Y2), то явное уравне-ние можно переписать:

или записать (X2 - X1)(Y - Y1)=(Y2 - Y1)(X - X1). Здесь уравнение прямой имеет неявный вид. Это неявная форма задания прямой дает возможность описывать вертикальные пря-мые: если X2=X1, а Y2=/Y1, то мы получаем уравнение вертикальной прямой X=X1.

В общем виде уравнение прямой записывается: aX+bY+c=0.

aX+bY+c=0 - уравнение вертикальной прямой, если b=0.

Уравнения плоских кривых

Уравнение явного вида Y=f(X), где f(X) - заданная функция от X, является удовле-творительным в том случае, когда функция однозначна, а кривая не имеет вертикальных касательных.

Неявное уравнение X*X+Y*Y-r*r=0 применяется для окружности. Неявное уравнение в общем случае записывается в виде f(X,Y)=0, где f(X,Y) - функция от X и Y.

Наиболее распространенными неявными уравнениями являются уравнения кониче-ских сечений.

Уравнение для эллипса

Уравнение для параболы Y*Y-4aX=0.

Уравнение для гиперболы

В общий случае, все типы конических сечений описываются уравнением второй сте-пени: S=aX*X+2hXY+bY*Y+2gX+2fY+c=0, где a,b,c,f,g,h – различные между собой коэффициенты.

Если выполняется соотношение h*h<2, то кривая принимает вид эллипса; если h*h=ab, то вид параболы; если h*h>ab, то гиперболы, при условии, что abc+2fgh-2fgh-af*f-bg*g-ch=/0

Параметрические уравнения прямых и кривых

В случае, когда много вертикальных касательных использование вышеперечисленных уравнений затруднительно и они непригодны для генерирования кривых. Существует еще один способ описания, при котором равноправные координаты X и Y - уравнения параметрического вида; X и Y функции от некоторого параметра t, X=X(t), Y=Y(t).

Пример: Окружность X2+Y2=1 в параметрическом виде записывается X=cos(t) , Y=sin(t), 0 <=t<=2п При условии 2п/3<=t<=7п/6 дает полное описание дуги ABC окружности.

Если X(t) и Y(t) - линейные функции от t, то рассматриваемая кривая будет прямой. В частности прямая проходящая через Р1 и Р2 определяется по формулам,

X=X1+t(X2-X1), Y=Y1+t(Y2-Y1).

Точка P(X,Y) , как показано на рисунке делит прямую, соединяющую точки Р1 и Р2, на отрезки в отношении t:(1-t). Для доказательства используется подобие треугольников.

Прямая aX+bY+c=0 описывается параметрическим уравнением :

Касательная к кривой X=X(t), Y=Y(t) в точке Р с параметром t=t1 определяется уравнением X=X(k)=X(t1)+kX(t1), Y=Y(k)=Y(t1)+kY(t1) , где k- параметр на касательной, а X(t1) и Y(t1) значение производных dX/dt и dY/dt в точке t=t1.

Нормаль в данной точке кривой определяется по формулам X=X(t1)+kX(t1), Y=Y(t1)-kY(t1).