5. Математические модели элементарных измерительных сигналов

К элементарным измерительным сигналам относятся постоянный во времени сигнал и сигналы, описываемые единичной и синусоидальной функциями, а также дельта-функцией.

Постоянный сигнал - самый простой из элементарных сигналов, описываемый математической моделью вида U = А, где А - единственный параметр сигнала. Графики временной и частотной моделей постоянного сигнала приведены на рисунке 16

а б

Рисунок 16 - Графики временной (а) и частотной (б) моделей постоянного сигнала

Единичная функция, называемая иногда функцией Хевисайда, описывается уравнением

Она имеет один параметр момент времени . Ее временная и частотная модели представлены на рисунке 17,а.

Дельта-функция описывается уравнением

Она также имеет один параметр момент времени . Графики временной и частотной моделей дельта-функции S(t) показаны на рисунке 17,б. Из них видно, что дельта-функция имеет спектр бесконечной ширины.

Дельта-функция обладает следующим свойством:

где ε - любое, сколь угодно малое число.

Она может рассматриваться как предельная функция однопараметрического семейства непрерывных функций, например,нормального распределения с бесконечно малым средним квадратическим отклонением (СКО) σ:

а б

Рисунок 17- График моделей единичной (а) и дельта-функции (б)

Единичная и дельта функции связаны между собой следующими выражениями:

Важной особенностью дельта-функции является стробирующее действие, которое описывается уравнением:

Оно используется для представления дискретизированной во времени функции с шагом дискретизации ∆ t:

Гармонический сигнал описывается уравнением:

Параметрами такого сигнала являются: амплитуда U_m, период Т (или частота f = 1/T, или круговая частота ω и начальная фаза φ. График временной модели общеизвестен, а график частотной модели такого сигнала показан на рисунке 18.

Рисунок 18 - Спектр гармонического сигнала

6. Математические модели сложных измерительных сигналов

В средствах измерений используется большое число измерительных сигналов, имеющих самые разнообразные формы. Рассмотрим некоторые из них, наиболее часто встречающиеся на практике.

Прямоугольные импульсы. Одиночный идеальный прямоугольный импульс (рисунок 19,а) описывается уравнением

,

т.е. он формируется как разность двух единичных функций, сдвинутых во времени на величину τ - длительность импульса.

а в

Рисунок 19 - Формирование идеального прямоугольного импульса (а),

последовательность прямоугольных импульсов (б)

и трапецеидальный импульс (в)

Последовательность прямоугольных импульсов есть сумма одиночных импульсов:

Для ее описания необходимо знать три параметра: амплитуду U_m, длительность τ и период Т (рисунок 19,б). Отношение периода к длительности прямоугольного импульса называется скважностью, а обратная величина -коэффициентом заполнения. При скважности, равной двум, последовательность импульсов называют меандром (см. рисунок 19,б).

Идеальные прямоугольные импульсы в природе не встречаются. В реальных импульсах время изменения сигнала от нулевых до амплитудных значений (и обратно) всегда имеет конечную длительность, т.е. фронт и спад (рисунок 19,в). Следовательно, у реальных импульсов будет трапецеидальная форма.

Трапецеидальный импульс также является идеализацией реальных импульсов, которые имеют гораздо более сложную форму. Она отличается от трапеции спадом вершины импульса, выбросами на вершине и в паузе и другими особенностями, учтенными в системе параметров реального прямоугольного импульса.

Сигналы с линейными участками. При построении средств измерительной техники широкое применение находят периодические сигналы с линейными участками. Это прежде всего линейный знакопеременный и однополярный линейно изменяющийся (пилообразный) сигналы (рисунок 20). Линейный знакопеременный сигнал описывается уравнением

Пилообразный сигнал , при .

а б

Рисунок 20 - Линейный знакопеременный (а) и однополярный линейно изменяющийся (пилообразный) (б) сигналы