14. Выпуклость и точки перегиба функции. Необходимое и достаточное условие перегиба функции.

Функция называется выпуклой вверх на промежутке х, если для любых двух значений х₁, х₂ х из этого промежутка выполняется неравенство. _(вверх) Функция выпукла вниз на промежутке х тогда и только тогда, когда ее первая производная на этом промежутке монотонно возрастает(убывает)

Функция – выпуклая вниз на промежутке х, если для любых двух значений х_1, х₂ х из этого промежутка выполняется неравенство.

Геометрический смысл:

Если f’(x) возрастает (убывает) на промежутке х, то возрастает (убывает) угол наклонна касательных к графику, это и означает выпуклость функции вниз (вверх)

Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка х, то функция выпукла вниз (вверх)

Точка перегиба: графика непрерывной функции - точка разделяющая интервалы, в которой функция выпукла вниз и вверх

Необходимые условия:

Вторая производная дважды дифференцируемой функции в точке перегиба х₀ равна нулю, f’’(x)=0

Достаточное условие:

Если вторая производная дважды дифференцируемой функции f’’(x) при переходе через некоторую точку х₀ меняет свой знак, то х₀ есть точка перегиба ее графика.

Геометрический смысл:

Если критическая точка дифференцируемой функции не является т. Экстремума, то она точка перегиба.

15. Нахождение асимптот функции.

Асимптота графика – прямая обладающая такими свойствами, что расстояние от точки (х, f(x)) до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Теорема 1.

Пусть функция у=f(x) определенна в некоторой окрестности точки х₀ и хотя бы один из пределов функции при х х₀-0 (слева) или при х х₀+0 (справа) равен бесконечности , т.е.

Тогда прямая х=х₀ яв-ся вертикальной асимптотой графика функции у=f(x)

Вертикальные асимптоты х=х₀ следует искать в точках разрыва функции у=f(x) или на концах ее области определения (а, в), если а и в – конечные числа.

Элементарная функция, определяется на всей числовой прямой, не может иметь вертикальных асимптот.

Теорема 2.

Пусть функция у=f(x) определена при достаточно больших х и существует конечный предел функции есть горизонтальная асимптота графика функции у=f(x)

Теорема 3.

Пусть функция у=f(x) определена при достаточно больших х, и существует ее конечные пределы

Тогда прямая у=kx+b – наклонная асимптота графика функции у=f(x)

16. Уравнение касательной и нормали к графику функции в заданной точке.

Пусть функция задается уравнением y=f(x), нужно написать уравнение касательной в точке x0. Из определения производной:

Y’(x)=limΔx→0ΔxΔy

Δy=f(x+Δx)−f(x).

Уравнение касательной к графику функции: y=kx+b (k,b=const). Из геометрического смысла производной: f ’(x0)=tgα=k Т.к. x0 и f(x0)∈ прямой, то уравнение касательной записывается в виде: y−f(x0)=f ’(x0)(x−x0), или

y=f ’(x0)·x+f(x0)−f ’(x0)·x0.

Уравнение нормали

Нормаль -- это перпендикуляр к касательной (см. рисунок). Исходя из этого:

tgβ=tg(2π−α)=ctgα=1tgα=1f ’(x0)Т.к. угол наклона нормали -- это угол β1, то имеем: tgβ1=tg(π−β)=−tgβ=−1f ’(x).Точка (x0,f(x0))∈ нормали, уравнение примет вид: y−f(x0)=−1f ’(x0)(x−x0).