33. Ряды Тейлора и Маклорена.

Ряд Маклорена:

f(x)=C₀+C₁X+С₂Х²+...+С_nХⁿ

коэф-ты ряда:

f’(x)=C₁+2C₂X+3C₃X²+...+nC_nX^n-1

f“(x)=2C₂X+3∙2C₃X+...+n(n-1)C_nX^n-2

х=0,

f’(0)= C₁ => С₀=f(0)

f”(0)=2∙1 C₂=>C₁=f’(0)

f’”(0)=3∙2C₃ =>C₂=f”(0)/2!

f⁽ⁿ⁾(0)=n!C_n =>C_n=f⁽ⁿ⁾(0)/n!

Ряд Макларена: f(x)=f(0)+f’(0)∙x\1!+ f”(0)∙x²\2!+ f”’(0)∙x³\3!+..+ fⁿ(0)∙xⁿ\n!+..

Замечание1. Не всякая ф-ция может быть разложена в ряд Мак-на. Может получиться расх-ся рад или ряд будет сводиться к др ряду.

Замечание2. Достат условие разложения ф-ции вряд Мак-на яв-ся ограниченность всех её производных в окрестности т.Х=0 одним и тем же числом, т.е. |f⁽ⁿ⁾(x)|≤C

*Если ф-ция раскладывается в ряд Маклорена, то это разложение единств-е.

Пр1: y=e^x

F(x)=1+x\1!+x²\2!+x³\3!+..+ xⁿ\n!+.. Отв:(-∞;+∞)

Пр2: f(x)=sinx

f’(x)=cosx, f’(0)=1

cos’x=-sinx, f”(0)=0

(-sinx)’=-cosx, f”’(0)=-1

(-cosx)’=sinx, f^IV(0)=0

Ряд: sinx=x- x³\3!+ x⁵\5!- x⁷\7!+..+(-1)ⁿx²ⁿ⁺¹\(2n+1)!+..

Ряд Тейлора:

Если ф-ция f(x) (n-1) раз дифференцируемых в окрестности т.Х₀, то для любого значения х из этой окрестности справедливы ф-ции Тейлора:

f(x)=f(x₀)+f’(x₀)(x-x₀)+f”(x₀)(x-x₀)²\2!+..+ fⁿ(x₀)(x-x₀)ⁿ\n!+Rn(x); Rn-остаточный член формулы Тейлора.

Rn= f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)(x-x₀)ⁿ⁺¹\(n+1)!

34.Понятие ф-ции нескольких переменных, предел и непрерывность ф-ции.

Опред-е: Пусть имеется 3 числовых мн-ва X,Y,Zпринадлежащих R.

Действительной ф-цией 2ух переменных x,y наз-ся отображ-е f:X∙Y→Z, Z=f(x,y), кот устанавливает соответствие между парой <x,y>принадл X∙Y, х(принадл)Х, y(принадл)Y и числом z(принадл)Z. Каждому Z соотв-ет одна пара x,y.

Геом интерпр: График-мн-во точек в трёхмерн простран-ве X,Y,Z, это некотор поверх-ть.

Предел и непрерывность.

Число А-предел ф-ции Z=f(x,y) в т.М₀(х₀,у₀), если для любого сколь угодно малого положит числа Е>0, найдётся положит число ∂>0(зависящее от Е, ∂=∂(Е)), такое что для всех точек (x,y), отстоящих от т.М₀(х₀,у₀) на расст ρ меньше, чем ∂ (0<ρ<∂) выполняется |f(x,y)-A|<E или lim(x→x₀, y→y₀)f(x,y)=A.

Ф-ция Z=f(x,y) непрерывна, если выполняется три усл:

1)она определена в этой т.(x₀, y₀)

2)сущ-ет конечный предел.

3)этот предел=значению ф-ции lim(x→x₀, y→y₀)f(x,y)=f(x₀, y₀) в т.(x₀, y₀)

35.Частные производные ф-ции 1го порядка и полный дифференциал.

∆z-полное приращение ф-ции в т.(x,y)

∆z=f(x+∆x, y+∆y)-f(x,y)

Частная производная ф-ции неск перемен-х по одной из этих переменных - предел отношения соответствующего частного приращения ф-ции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении последующего к нулю(если предел сущ-ет).

Обозначается Z’x, Z’y или ∂z\∂x, ∂z\∂y или f_x’(x,y), f_y’(x,y)/

Z’x=lim(∆x→0)∆xZ\∆x=lim(∆x→0)f(x+∆x,y)-f(x,y)\ ∆x

Z’y=lim(∆y→0)∆yZ\∆y=lim(∆y→0)f(x,y+∆y)-f(x,y)\ ∆y

Дифференциалом ф-ции наз-ся сумма произведений частных производных этой ф-ции на независимых переменных.

Dz= z’_x∆x +z’_y∆y или dz=(∂z\∂x)dx+(∂z\∂y)dy

Ф-ция z=f(x,y) диффеоенцируема в т.(x,y), если её полное приращение можно представить в виде ∆Z=dz+α∆x+β∆y, где dz-дифференциал ф-ции, αβ-бескон.малые при (∆x→0,∆y→0)

Необходим усл:сущ-ние частн произодных.

Достатачное: если частн произ-ые ф-ции z’_x(x,y) и z’_у(x,y) сущ-ют в окрестности т.(x,y) и непрерывны в самой т.(x,y), то ф-ция ∆z=f(x,у) дифференцируема в этой точке.

36.Производная по направлению, градиент.

Производной Z’_ℓ по напр ℓ ф-ции двух перемен-ых z=f(x,y) наз-ся предел отношения приращения ∆ℓ при стремлении последней к 0, т.е Z’_ℓ= lim(∆ℓ→0)∆ℓZ\∆ℓ

∆_ℓZ=f(x+∆x,y+∆y)-f(x,y)=f(x+∆x,y+∆y)-f(x,y+∆y)+ f(x,y+∆y)-f(x,y)

Z’_ℓ =lim(∆ℓ→0)∆_xZ(x,y+∆y)\ ∆ℓ+ lim(∆ℓ→0)∆_yZ(x,y)\ ∆ℓ

Градиент.▼Z – вектор, у кот координаты явл-ся частными производными: ▼Z(Z’_x,Z’_y)

Произв-я по напр есть скалярн произвед-е Гр.▼Z и единичного вектора, задающего направление ℓ.

(▼Z,e)= Z’x cosα+ Z’y cosβ

Градиент ф-ции в дан точке хар-ет направ-е максимал-ой скорочти изменения ф-ции в этой точке.

Тоерема: Пусть задана диф-мая ф-ция z=f(x,y) и пусть в т. М(х₀,у₀) величина градиента отлична от 0. Тогда град перпендикулярен линии уровня, проходящей через дан точку.

37.Экстремумы ф-ции многих переменных, необход и достат усл экстр-ма.

Т. М₀(х₀,у₀) – т-ка максимума\мин-ма ф-ции z=f(x,y), если сущ-ет окрестность т.М такая, что для всех точек (х,у) из этой окрестности выполняется неравенство:

f(x₀,y₀)≥f(x,y); f(x₀,y₀)≤f(x,y).

Теор.Пусть т.(x₀,y₀) есть точка диф-ой ф-ции z=f(x,y). Тогда частные произ-ые f_x’(x₀,y₀) и f_y’(x₀,y₀) в этой точке равны 0.

В т. Минимума или макс-ма диф-ой ф-ции градиент равен 0. В т. экстремума обращается в 0 произв-ие ф-ции по всем направлениям.

Необходи усл: (аналог теории Ферма). Если в т. М₀(х₀,у₀) ф-ция имеет экстремум, то в этой т. частн производные равны 0.

Достаточн усл: z=f(x,y) определена в окрестности критич-й т.М(х₀,у₀), в кот f_x’(x₀,y₀)=0, f_y’(x₀,y₀)=0 и имеет в этой т. непрерыв вторые частн производные: f”xx=A, f”xy=f”yx=B, f”yy=C. тогда если ∆=AC-B²>0, то в т. М экстремум сущ-ет, причем если A>0, то min, A<0, то max. Если ∆<0, то экстремума нет, если ∆=0, то неопределённость.

38.Условный экстремум. Нахождение методом множителей Лагранжа.

Задана ф-ция z=f(x,y) и ур связи g(x,y)=0

Т. М(x₀,y₀) –т.условного экстр, если сущ-ет такая окрест этой точки, что для любых т.N этой окрест, находящихся на этой линии, удовлетворяющих ур-ю g(x,y)=0, выполняется неравенство: f(x₀,y₀)≥f(x,y)-max; f(x₀,y₀)≤f(x,y)-min.

Метод Лагранжа. Если т.М(x₀,y₀) яв-ся точкой усл.экстр-а ф-ции z=f(x,y) при усл g(x,y)=с, то сущ-ет значение λ₀ такое, что т.(x₀,y₀,λ₀) яв-ся точкой экстр-ма ф-ции L(x,y, λ). Система:

∂L\∂x=f’x(x,y)+ λg’x(x,y)=0

∂L\∂y=f’y(x,y)+ λg’y(x,y)=0

∂L\∂λ=gx(x,y)=0

х,у – критич точки.

39. Кратные интегралы. Сведение кратного интеграла к повторному.

Пусть передл I интергрируемой суммы S для ф-ции z=f(x,y) по области D при стремлении подобл d к 0 существует, конечен и не зависит от способа разбиения обл D на элементарные части и выбора точек (ξi,γi) в обл Di. Тогда ф-уия Z наз-ся интегрируемой в обл D, а число I – двойным интегралом от дан ф-ции по обл D и обозначается I=∫∫_Df(x,y)dxdy.

Достат.усл интегрируемости. Если ф.Z непрерывна в обл D, то она интегрируема в этой обл.

Геом смысл.Двойн.инт = объему цилиндрич.тела, построенного на обл D как на основании и огранич-го сверху пов-тью z=f(x,y).

Сведение к повторному:

∫∫_Df(x,y)dxdy=∫^b_adx∫^φ(x)_x(x)f(x,y)dy