17.Первообразная функция и неопределнный интеграл.

Функция F(x) первообразная для функции f(х) на промежутке х, если на каждой точке этого промежутка F(x) = f(x).

Теорема: Если F₁ (х) и F₂(х) — первообразные для функции f(х) на некотором промежутке х, то найдется такое число с, что будет справедливо неравенство F₂(х) = F₁ (х) + с.

Совокупность всех первообразных для функции f(х) на промежутке х называется неопределенным интегралом от функции f(х) и обозначается ʃ f(х)dx, ʃ f(х)dx = F (х) + с.

18. Свойства неопределнного интеграла.

1). Производная от неопределенного интеграла равна подинтегральной функции ( ʃ f(x)dx)' = f(x)

2). Дифференциал неопределенного интеграла равен подинтегральному выражению d ( ʃ f(x)dx) = f(x)dx

3). Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого ʃ d F(x) = F(x) + c.

4). Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

ʃ α f(x)dx=α ʃ f(x)dx.

5). Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций, т.е. ʃ (f(x) ± g(x))dx = ʃ f(x)dx ± ʃ g(x)dx

19. Табличные интегралы.

1). ʃ 0dx = c 2). 3). ʃ = ln |x| +c 4). 5). ʃ e^xdx = e^x + c 6). ʃ sinx dx = -cosx dx 7. ʃ cosx dx = sinx + c 8). 9). 10). 11). 12). 13).

Основные методы интегрирования:

1. непосредственное интегрирование ( табличные интегралы)

2. Подведение под знак дифференциала

3. Метод замены переменной: а) введение новой переменной интегрирования; б) заданный интеграл сводится к новому интегралу, который сводится к табличному.

4. Интегрирование по частям.

u и v — дифференциируемые на некотором промежутке функции.

d(u, v) = u dv + v du

u dv = d (uv) – v du

ʃ u dv = ʃ d (uv) - ʃ v du

ʃ u dv = uv - ʃ v du

ʃ dv = v

20. Интегрирование рациональных дробей.

Неопределнный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором знаменатель дроби не обращается в 0, существует и выражается через элементарные функции, а именно он является алгебраической суммой суперпозиции рациональных дробей.

Метод заключается в разлодении рациональных дробей на сумму простейших.

P(x) = P_{n –} многочлен n-ой степени, Q _m- полином m-ой степени.

A_1, A₂...M₁, M₂...N₁, N₂ – неопределенные коэффициенты.

21. Интегрирование иррациональных выражений.

Необходимо свести интегралы от иррациональных функций к интегралам от рациональных функций.

Обозначим через R(U,V) функцию от переменных U,V и некоторых постоянных, которая построена с использованием четырёх арифметических действий. Метод замены переменных

22. Понятие определённого интеграла и свойства его.

Определение: пусть предел интегральной суммы при стремлении max xi к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек х1 ,х2,хn и точек ξ1, ξ2 …ξn . Тогда этот предел называется определённый и интегралом от функции y=f(x) на отрезке [а,в] , обозначается = lim f(ξi) xi

Геометрический смысл : площадь α под кривой .

Свойства:

1.Постоянный мн-тель можно выносить за знак интеграла а = а где а – нек. Число.

2.

3. Если отрезок интегрирования разбит на части то интеграл на всём отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей

4. Если на отрезке [а,в] , то

5. Теорема о среднем. Если ср-я у= f(x) непрерывна на отрезке [а,в], то найдётся такое значение ξ є [а,в], =f (ξ)(в-а)