4.3.2 Подготовка данных для расчета моделей регрессии. Построение ортогональных многочленов

Для заданного множества точек {x₁, x₂, ..., x_L} построить ортогональные многочлены Т₁, Т₂, Т₃ степеней 0, 1, 2 соответственно. Многочлены рассчитать по формулам (4.12), (4.13), где W_i = n_i (i = 1, 2, ..., L). Результаты расчета оформить в табличном виде (табл. 3).

Задача 2. По данным табл. 1 рассчитать ортогональные многочлены Т₁, Т₂, Т₃ на множестве точек {1, 3, 5, 7, 14} с весами W_i = n_i.  Решение. В последней строке табл. 3 записаны суммы по столбцам 2, 3, 6, 7. Подставляя их в формулы (4.12) и (4.13), получаем: λ = –102/17 = – 6; Т₂ = х – 6 = X;  υ = –302/17 = –17,76471; ­­­ ­­­ μ = –1080/302 = –3,57616; ­­­ ­­­ Т₃ = –17,76471 – 3,57616 · X + X ².  В значениях коэффициентов υ, μ сохраняем 5 знаков после запятой. 

Таблица 3. Результаты расчета ортогональных многочленов (к задаче 2)
x	W	xW	Т2 = X	X ^2	X ^2W	X ^3W	T3	XW	Т3W	XТ3W
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
1	3	3	–5	25	75	–375	25,11609	–15	75,34827	–376,74135
3	3	9	–3	9	27	–81	1,96377	–9	5,89131	–17,67393
5	4	20	–1	1	4	–4	–13,188855	–4	–52,75420	52,75420
7	4	28	1	1	4	4	–20,34087	4	–81,36348	–81,36348
14	3	42	8	64	192	1536	17,62601	24	52,87803	423,02424
∑	17	102	–	–	302	1080	–	0	–0,00007	–0,00032

Для контроля ортогональности полученных многочленов дополняем табл. 3 столбцами 9 – 11. В последней строке записаны суммы по этим столбцам. Для рассматриваемого примера отклонения этих сумм от нуля не превосходят величины погрешностей округления, что свидетельствует об отсутствии ошибок вычисления.

4.3.3 Расчет линейной и квадратичной регрессионных моделей

Найти оценки параметров линейной и квадратичной моделей регрессии.  Расчет оценок параметров линейной и квадратичной регрессий, расчет значений соответствующих регрессионных моделей (Y_лин, Y_кв ), а также отклонений их от средних значений Y_iможно произвести в учебно-вычислительном центре МИСиС по специализированной программе REGRE, работающей в диалоговом режиме.  По запросу программы необходимо ввести число заданных точек n (число различных значений аргумента или число экспериментов), затем поочередно для каждого эксперимента следующие данные: X_i – значение фактора, т.е. кодированное значение аргумента (столбец 4 табл. 3.6); Y_i – значение отклика, т.е. среднее значение функции для i-го аргумента (столбец 8 табл. 3); W_i – вес эксперимента (столбец 2 табл. 3). После ввода данных всех экспериментов программа предоставляет возможность исправить любое ошибочно введенное число.  Затем следует ввести коэффициенты μ и υ базисного многочлена Т3 = X ² + μX + υ. При ошибочном вводе коэффициентов их также можно исправить.  После ввода всех данных на экране появляются результаты расчета:  – коэффициенты регрессии B1, B2, B3, т.е. оценки параметров линейной и квадратичной регрессий, рассчитанные по формуле (4.11);  – H1, H2, H3 – нормы многочленов Т1, Т2, Т3, рассчитанные по формуле (4.16).  Пользователю предлагается следующее меню:  ВВЕДИТЕ:  1 – РАСЧЕТ ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ РЕГРЕССИИ  2 – РАСЧЕТ КВАДРАТИЧНОЙ МОДЕЛИ РЕГРЕССИИ  3 – ВЫХОД ИЗ ПРОГРАММЫ  После выбора соответствующего пункта меню на экран выводятся исходные данные расчета – столбцы X, Y, W и результаты расчета Y ЛИН и DY ЛИН для линейной модели регрессии; Y КВ и DY КВ – для квадратичной модели регрессии (пример экранной формы приведен в табл. 4):  Y ЛИН = B1 * T1 + B2 * T2 = B1 + B2 * X;  Y КВ = Y ЛИН + B3 * T3 = B1 + B2 * X + В3 * (X ² + μX + υ);  DY ЛИН = Δ Y_лин = Y – Y_лин; DYKB = Δ Y_кв = Y – Y_кв.  В последних строках экранной формы приводятся взвешенные суммы квадратов отклонений  (ΔY_лин)_i²W_i   или    (ΔY_кв)_i²W_i, а также контрольные числа – скалярные произведения отклонений ΔY на многочлены Т₁, Т₂, Т₃. Для многочленов, участвующих в расчете, эти контрольные числа должны быть равны нулям с точностью до накапливаемых погрешностей округления.

Задача 3. По данным задачи 1 найти оценки параметров линейной и квадратичной моделей регрессии.  Решение. Экранная форма результатов расчета линейной и квадратичной моделей регрессии по программе REGRE приведена в табл. 4.  В рассматриваемой задаче отклонение контрольных чисел от нуля объясняется накоплением погрешностей округления, что свидетельствует об отсутствии вычислительных ошибок. Это позволяет считать, что линейная модель регрессии описывается формулой  Y_лин = 4,81118 + 0,109603X,  а квадратичная модель – формулой  Y_кв = 4,84118 + 0,109603Х – 0,0963418 (Х ² – 3,57616Х – 17,76471),  где Х = х – 6. 

Таблица 4. Результаты расчета линейной и квадратичной моделей регрессии (к задаче 3)
Коэфф. регр.		В1 = 0,48411Е+01		В2 = 0,109603Е+00		В3 = –0,963418Е+01
Нормы многочл.		0,412311Е+01		0,173781Е+02		0,720195Е+02
Данные эксперимента			Веса	Расчетные данные и их отклонения
№	X	Y	W	YЛИН	DYЛИН	YКВ	DYКВ
1	–5,0000	2,0000	3	4,293163	–2,293163	1,873434	0,126566
2	–3,0000	4,1000	3	4,512368	–0,412368	4,323175	–0,223175
3	–1,0000	6,0000	4	4,731573	1,268427	6,002182	–0,002182
4	1,0000	7,0000	4	4,950779	2,049221	6,910455	0,089545
5	8,0000	4,0000	3	5,717997	–1,717997	4,019875	–0,019875
Суммы квадратов отклонений				0,483733Е+02		0,230755Е+00
Контроль			DY T1	0,12Е–05		0,55Е–05
			DY T2	0,14Е–04		–0,16Е–04
			DY T3	xxxxxxx		0,19Е–03