4.3.6 Построение доверительных интервалов
Построить доверительные интервалы для параметров регрессионных моделей и дисперсии значений функции Y с заданной доверительной вероятностью P. Величину доверительной вероятности P задает преподаватель. Построение доверительных интервалов выполняется с помощью неравенств (4.15), (4.16) и (3.12). В силу принятого для типового расчета предположения о независимости и равноточности значений измеряемой функции Y все эмпирические дисперсии Si2 являются несмещенными оценками истинной дисперсии эксперимента σ2. Для построения доверительных интервалов рекомендуется использовать подсчитанную на I этапе сводную оценку дисперсии S2 = S2св, которая имеет число степеней свободы k = kсв = ki.
Задача 6. По данным задачи 1 построить доверительные интервалы для параметров полученных моделей регрессии и дисперсии значений измеряемой функции Y с доверительной вероятностью P = 0,95. Решение. В задаче 1 было найдено k = 12; S2 = S2св = 4,167 · 10–2; S = 0,204. По табл. П2 приложения [1] находим квантиль распределения Стьюдента t0,975(12) = 2,18. Из табл. 4 (см. задачу 3) имеем: ||T1|| = 4,123; ||T2|| = 17,38; ||T3|| = 72,02. По формулам (4.15), (4.16) вычисляем: ε1 = 2,18 · 0,204 / 4,123 = 0,108; B1 = 4,841 ± 0,108; ε2 = 2,18 · 0,204 / 17,38 = 0,0256; B2 = 0,1096 ± 0,0256; ε3 = 2,18 · 0,204 / 72,02 = 0,0062; B3 = 0,0963 ± 0,0062. Для построения доверительного интервала для дисперсии находим квантили χ2 – распределения: χ2α/2(k) = χ20,025(12) = 4,40; χ21-α/2(k) = χ20,975(12) = 23,3. По формуле (3.12) получаем: 4,167 · 10–2 · 12 / 23,3 < σ2 < 4,167 · 10–2 · 12 / 4,40, откуда 0,0215 < σ2 < 0,1136.
4.3.7 Выводы по результатам типового расчета
После выполнения типового расчета необходимо сделать выводы об адекватности полученных моделей регрессии. Привести построенную модель регрессии в случае ее адекватности. Если линейная модель адекватна, приводятся результаты построения только этой линейной модели. Строить квадратичную модель в этом случае нет необходимости. Если линейная модель неадекватна, а квадратичная модель адекватна, необходимо привести результаты построения квадратичной модели. Если неадекватны и линейная, и квадратичная модели, делается вывод о необходимости поиска другой модели. При этом результаты построения моделей не приводятся.
Задача 7. Сделать выводы по обработке данных задачи 3 методами регрессионного анализа. Решение. Линейная модель неадекватна. Квадратичная модель адекватна (она не противоречит экспериментальным данным с уровнем значимости α = 0,05): Y = B1 + B2 · X + B3 · (X 2 – 3,57616 X – 17,76471); Х = х – 6; B1 = 4,84 ± 0,11; B2 = 0,110 ± 0,026; B3 = 0,0963 ± 0,062; S2св = 4,17 · 10–2; Sсв = 0,24; 0,0215 < σ2 < 0,1136. Доверительные интервалы рассчитаны для доверительной вероятности P = 0,95.
Литература
Карасев В.А., Богданов С.Н., Лёвшина Г.Д. Теория вероятностей и математическая статистика. Раздел 2. Математическая статистика. Учеб.-метод. пособие. М.: МИСиС, 2005. 117 с. (Библ. № 1855).
