4.3.4 Графический анализ результатов расчета

Для графического анализа результатов расчета необходимо построить графики отклонений линейной и квадратичной моделей регрессии от экспериментальных данных, т.е. от средних  .

Задача 4. Сделать графический анализ полученных в задаче 3 результатов расчетов.  Решение. На рис. 1а представлен график отклонений ΔY_лин, построенный на основании данных табл. 4. Рис. 1а наглядно демонстрирует не только непригодность линейной модели, что следует из больших значений отклонений ΔY_лин, доходящих до ±2 при ошибках эксперимента порядка 0,2 – 0,3, но и целесообразность расчета квадратичной модели, так как расположение точек полученного графика напоминает график квадратичной зависимости – параболу. 

а)­­ ­ ­­ ­­ ­­­ ­ ­ ­ ­   б)   Рис. 1. График отклонения экспериментальных данных от линейной модели (а);  от квадратичной модели (б)

На рис. 1б представлен график отклонений ΔY_кв, построенный на основании данных по той же табл. 4, но в другом масштабе с увеличением в 10 раз. На рис. 1б видно, что отклонения от параболы, т.е. |ΔY_кв|, малы (имеют порядок, не превышающий порядок ошибок эксперимента); это свидетельствует о соответствии квадратичной модели регрессии результатам эксперимента. Выяснение соответствия модели регрессии экспериментальным данным аналитически статистическими методами проводится на следующем – V этапе расчета. В том случае, когда отклонения экспериментальных точек от параболы оказываются все еще слишком большими, более детальный анализ рис. 1б позволяет выяснить, стоит ли подбирать многочлены третьей–четвертой степени, или стоит обратиться к регрессионным моделям других типов, либо следует подвергнуть сомнению некоторые результаты эксперимента и продолжить экспериментальное исследование.  Надо также графически сравнить линейную и квадратичную модели с экспериментальными точками. На рис. 2 такое сравнение проведено для рассматриваемой задачи; оно показывает соответствие квадратичной модели экспериментальными данными. 

  Рис. 2. Сравнение линейной и квадратичной моделей с экспериментальными данными

4.3.5 Проверка адекватности регрессионных моделей и принятие решения о выборе модели регрессии

Проверить адекватность полученных линейной и квадратичной моделей регрессии. Уровень значимости α задает преподаватель.  Проверка адекватности регрессионных моделей проводится путем сравнения дисперсий адекватности со сводной оценкой дисперсии. Сводная оценка дисперсии S²_свподсчитывается на первом этапе первичной обработки данных. Дисперсии адекватности линейной S²_ад.лин и квадратичной S²_ад.кв моделей вычисляются по формуле (4.17) с использованием сумм квадратов отклонений, рассчитываемых при построении каждой из моделей регрессии. Суммы квадратов отклонений можно найти с помощью программыREGRE.

Задача 5. На основании данных расчета, проведенного в задаче 3, проверить адекватность линейной и квадратичной моделей регрессии с уровнем значимости α = 0,05.  Решение. Проверим адекватность линейной модели регрессии. В табл. 4 (см. задачу 3) находим для линейной модели ∑(ΔY_лин)²W = 48,37; полагая k_ад = 5 – 2 = 3, вычисляем дисперсию адекватности S²_ад.лин = 48,36/3 = 16,12; ее отношение к сводной оценке дисперсии S²_св = 0,04167 составляет F_лин = S²_ад.лин / S²_св = 16,12/0,04167 = 387, что значительно превосходит табличное значение F_0.95(3; 12) = 3,49; поэтому для рассматриваемого примера линейная модель отвергается, как противоречащая результатам эксперимента, с уровнем значимости α = 0,05, т.е. линейная модель неадекватна.  Проверим адекватность квадратичной модели:  ∑(ΔY_кв)²W = 0,2308; ­­ ­­ ­­ ­­ k_ад = 5 – 3 = 2; ­­ ­­ ­­ ­­  ,  значение критерия Фишера для квадратичной модели составляет:  F_кв = S²_ад.кв / S²_св = 0,1154 / 0,04167 = 2,77,  что меньше табличного значения F_0.95(2; 12) = 3,89; поэтому с уровнем значимости α = 0,05 квадратичная модель не противоречит результатам эксперимента и принимается, т.е. квадратичная модель адекватна.  Заметим, что если бы и квадратичная модель оказалась неадекватной, то пришлось бы принимать решение о подборе других моделей или о продолжении эксперимента. В рамках данного типового расчета для соблюдения одинакового объема расчетов по различным вариантам такая работа не проводится, т.е. делается вывод о неадекватности обеих построенных моделей регрессии и на этом данный этап типового расчета заканчивается.